Построение любой математической модели и ее реализация связаны с упрощением исходного объекта или явления и внесением погрешностей. Эти погрешности называются погрешностями модели . Погрешность модели является неустранимой погрешностью. При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, которые носят название погрешностей метода . Наиболее типичные погрешности метода - это погрешность дискретизации и погрешность усечения (обрыва). При реализации численного метода на ЭВМ возникают погрешности округления .

Остановимся подробней на погрешностях метода и вычислительных погрешностях. В диапазоне пространственно-временных промежутков, в которых функционируют электротехнические устройства, пространство и время можно считать непрерывными субстанциями. Аналитические зависимости электрических величин как функции пространства (линии, площади или объема) и времени обладают этой непрерывностью за исключением точек скачков и разрывов. При этом для любой точки пространства или любого момента времени (в рамках задачи) известно значение данной величины - тока, напряжения, индукции и т. д. Численные же методы дают возможность найти зависимости между величинами дискретно, т.е. в отдельных точках, и непосредственные результаты расчетов могут быть представлены только в табличном виде. Шаг по аргументу, например, времени t, с которым заполняется таблица, называется шагом дискретизации h . Точки аргумента, в которых известны значения функций, называются узлами. Характер же изменения функции между узлами и ее промежуточные значения неизвестны. Чем больше шаг дискретизации, тем выше погрешность численного решения. Точность же решения уравнения при наличии аналитической зависимости от шага не зависит. В основном погрешность дискретизации связана с тем, что для построения численных методов используются приемы, связанные с заменой производных функций конечными разностями . При стремлении шага h к нулю погрешность дискретизации тоже стремится к нулю. Второй погрешностью метода является погрешность усечения (обрыва). Эта погрешность связана с тем, что многие функции, входящие в математическое описание модели, представляются в виде усеченных бесконечных степенных рядов аргумента. Это и дает ошибку усечения (обрыва). Например, sin(x) можно представить в виде степенного ряда

При сохранении двух членов ряда будем иметь усеченную формулу для вычисления синуса: .

Погрешность усечения при выводе формул численного интегрирования рассмотрена в главе 4.

Следующим видом погрешности является погрешность округления, связанная с приближенным представлениемвещественных чисел в ЭВМ. Погрешность округления есть вычислительная погрешность.

В отличие от целых чисел, которые в ЭВМ представляются точно , действительные числа представляются в ЭВМ приближенно , с определенной точностью. Это связано со способом представления действительных чисел в ЭВМ. Рассмотрим вопрос более подробно на примере представления действительных чисел в Turbo Pascal 7.0 .

Действительные числа в ЭВМ представляются в показательной форме:

где М - мантисса числа; r - основание системы счисления; p - целое число (положительное, отрицательное или нуль) - порядок. Если , то число называют нормализованным. Примеры записи нормализованных чисел в показательной форме: , и т. д.

Точность числа при таком представлении зависит от количества знаков в мантиссе. Возьмем стандартный тип Паскаля REAL. Под число этого типа в памяти ЭВМ выделяется 6 байт. Один байт равен 8 битам или двоичным разрядам, всего 6х8=48 двоичных разрядов. При этом один разряд отдан под знак числа, 8 - под порядок, 39 - под мантиссу, что соответствует 11 12 значащим десятичным цифрам. Это означает, что числа, отличающиеся в 13-м десятичном знаке, для ЭВМ будут равными. Для многих технических задач данной точности представления чисел бывает недостаточно, и в Турбо Паскале есть тип EXTENDED, который обеспечивает 19 20 десятичных знаков в мантиссе.

Как говорилось выше, погрешность дискретизации уменьшается с уменьшением шага дискретизации h. С другой стороны, при расчете величины шага h c его уменьшением приходится вычитать все более близкие числа. Например, если в ЭВМ действительные числа представляются с 5 значащими цифрами, то если , а , шаг будет равен h = t 2 - t 1 = . Количество значащих цифр сократилось в 5 раз! Следовательно, вычислительные алгоритмы, в которых приходится вычитать близкие по величине числа, могут привести к потере точности решения. В связи с тем, что действия погрешности дискретизации и округления носят противоположный характер, существует оптимальный шаг дискретизации, при котором суммарная погрешность будет минимальна (рис.1.6). Величину оптимального шага можно определить только в условиях конкретной задачи и типа ЭВМ.

Мы рассмотрели следующие погрешности вычислительного эксперимента:

1) неустранимые - погрешности модели;

2) дискретизации, обрыва (усечения) - погрешности метода;

3) округления - вычислительная погрешность.

Какая из погрешностей преобладает, можно ответить только в конкретном случае. Если объект еще плохо изучен, то погрешности модели будут играть наибольшую роль и т. д. На практике следует стремиться к тому, чтобы все погрешности имели одинаковый порядок.

При математическом моделировании приходится сталкиваться еще с рядом сложных проблем. Главные из них - устойчивость численного метода и плохая обусловленность уравнений, входящих в математическую модель, которые тесно взаимосвязаны. Под устойчивостью численного метода понимают непрерывную зависимость решения от входных данных, равномерную относительно числа уравнений, составляющих дискретную моделью. Непрерывная зависимость от входных данных обозначает, что погрешность результата пропорциональна погрешности входных данных в диапазоне их изменения. Различают устойчивость коэффициентную, разностных схем, по начальным данным и т. д. .

Плохо обусловленной (или слабо устойчивой) считается задача, при решении которой погрешности, которые всегда присутствуют в численных методах, приводят к существенно другому результату или к аварийному завершению задачи.

Приведем наглядный пример плохой обусловленности на примере системы из двух линейных уравнений.

.

Её решение будет Уменьшим величину коэффициента при х 2 во втором уравнении на 0.1% (998 вместо 999). Решение новой системы уравнений дает результат Погрешность в коэффициенте в 0.1% привела к погрешности результата более чем в 50000%! Результаты вычислительного эксперимента, проведенного на математической модели, в которой есть уравнения с такими коэффициентами, будут ошибочными.

Исходя из сказанного выше, реализующий численные методы вычислительный алгоритм должен бытьустойчивым к накоплению погрешностей и легко реализуемым на ЭВМ.

Вычислительный алгоритм также должен быть еще рационально построен , т.е. должен приводить к результату за минимально возможное число шагов при минимальном использовании памяти ЭВМ. В качестве примера приведем алгоритм вычисления полинома:

по схеме Горнера.

Быстрые флуктуации ε (t) определяют случайную погрешность, ко­торую приближенно описывают эргодическим случайным процессом с нулевым математическим ожиданием. При проведении измерений с многократными наблюдениями эта составляющая проявляется в виде случайной величины, принимающей значения εi= ε (t i), взятые в моменты t i (i = 1,2,...,п) проведения наблюдений. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности являют­ся функции распределения. По известной дифференциальной функции распределения (плотности вероятности) ρ(ε) можно опре­делить вероятность пребывания случайной погрешности в заданных

границах от ∆ н до ∆ в:

Так как ε = х - X , где X - истинное, ах- измеренное значение изме­ряемой величины, то Р∆ = Р{х - ∆ вн < X < х + ∆ вн } (∆ вн - симметрич­ные границы интервала). Следовательно, вероятность Р∆ соответ­ствует вероятности пребывания истинного значения на интервале от х - ∆ вн до х + ∆ вн. Поскольку общая погрешность ∆ = Θ + ε, то ее плотность вероятности можно определить, сместив график ρ(ε) на Θ. В данном случае нижнюю ∆ н и верхнюю ∆ в границы интервала, в котором с вероятностью Р∆ лежит погрешность, выбирают симмет­рично относительно математического ожидания, поэтому I∆ Н I≠ ∆ е

4.10.4. Примеры законов распределения погрешностей

Для анализа результата измерений необходимо знать законы рас­пределения отдельных составляющих погрешности, по которым можно определить закон распределения общей погрешности и ре­шить вопрос о вычислении границ погрешностей. В некоторых слу­чаях удается оценить законы распределения составляющих по­грешности до проведения опыта на основе анализа причин их воз­никновения.

Равномерный закон. Этому закону подчи­нены погрешности, возникающие при кван­товании и дискретизации сигнала. Напри­мер, при измерении постоянного напряже­ния U x путем его сравнения с образцовым напряжением, изменяющимся по ступенча­тому закону с постоянным шагом Uст, ре­зультат измерений определяется числом n ступенек, зафиксированным с помощью электронного счетчика, и погрешностью квантования ∆U кв: U x = nUст - ∆U KB . Поскольку значение измеряемого напряжения неизвестно и нельзя указать область его предпочтительных значений, погрешность кван­тования считают распределенной по равномерному закону от 0 до Uст. Систематическая погрешность

График плотности вероятности случайной погрешности ε = ∆U кв – Θ получается смещением графика ρ(U KB) на Uct/2. Предельная по­грешность ∆п = Uct /2. СКО случайной погрешности

Для погрешностей, о которых ничего не известно, кроме их преде­лов, равномерный закон является удобной математической моде­лью, как дающий наибольшую погрешность измерений. Например, при анализе неисключенной систематической погрешности удается оценить лишь ее предельные значения ±Θ н. Закон распределения неисключеннойсистематической погрешности моделируют равно­мерным законом с СКО σ = Θ/√12. Согласно ГОСТ 8.009-84 равно­мерно распределенной считают погрешность из-за вариациипока­заний в пределах +Н/2с СКО σ =H√ 12 , где Н =IС б -С м I.

Например, при измерении временного интервала цифровым мето­дом, если начало измеряемого интервала не синхронизировано с последовательностью счетных импульсов, результат измерений T x =nT 0 -∆t H +∆t k =nT 0 -∆t д, где ∆t н и ∆t K погрешности дискретизации в начале и конце интервала Т х, ∆t д общая погрешность дискретиза­ции. Погрешности ∆t н и ∆t K подчинены равномерному закону с пре­дельными значениями 0 и Т 0 . Если интервал Т х не измерен, то случайные погрешности независимы, а закон распределения общей погрешности дискретизации ∆t д треугольный с предельными значе­ниями ±Т 0 .

Характеристики окружающей среды, в которой проводятся измере­ния, называют условиями измерений. Это климатические условия (температура, относительная влажность воздуха, атмосферное давление), электрические и магнитные поля, механические и аку­стические факторы (вибрации, ударные нагрузки, сотрясения), ио­низирующие излучения, газовый состав атмосферы и т.п. Так как они оказывают влияние на результат измерений, то для средств измерения в нормативно-технической документации всегда указы­ваются условия, в которых нормированы их метрологические ха­рактеристики.

Метрологические характеристики средств измерений нормируют раздельно для нормальных и рабочих условий применения.

4.12. Организация измерительного эксперимента

Измерение выполняется оптимально, если результат и желаемая точность достигнуты самыми простыми средствами и в соответст­вии с простейшей стратегией.

Подготовка включает уточнение задачи измерений, планирование измерительного эксперимента, выбор требуемых методов и техни­ческих средств, в том числе и вспомогательное оборудование (ис­точники питания, соединение с измеряемой средой, средства со­пряжения, средства подвода охладителя, если требуется и т.д.); калибровку механических и юстировку оптических приборов, гра­дуировку электронных средств.

2.3. Элементы процесса измерений

2.4. Основные этапы измерений

2.5. Постулаты теории измерений

2.6. Классификация измерений

2.7. Понятие об испытании и контроле

Глава 3. Теория воспроизведения

3.2. Принципы построения систем единиц физических величин

3.3. Международная система единиц (система си)

3.4. Воспроизведение единиц физических величин и передача их размеров

3.4.1. Понятие о единстве измерений

3.4.2. Эталоны, единиц физических величин

3.4.3. Поверочные схемы

3.4.4. Способы поверки средств измерений

3.4.5. Стандартные образцы

3.5. Эталоны единиц системы си

Глава 4. Основные понятия теории погрешностей

4.1. Классификация погрешностей

4.2. Принципы оценивания погрешностей

4.3. Математические модели и характеристики погрешностей

4.4. Погрешность и неопределенность

4.5. Правила округления результатов измерений

Глава 5. Систематические погрешности

5.1. Систематические погрешности и их классификация

5.2. Способы обнаружения и убтранения систематических погрешностей

Глава 6. Случайные погрешности

6.1. Вероятностное описание случайных погрешностей

6.2. Числовые параметры законов распределения

6.2.1. Общие сведения

6.2.2. Понятие центра распределения

6.2.3. Моменты распределений

6.2.4. Энтропийное значение погрешности

6.3. Основные законы распределения

6.3.1. Общие сведения

6.3.2. Трапецеидальные распределения

6.3.3. Экспоненциальные распределения

6.3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

6.3.5. Уплощенные распределения

6.3.6. Семейство распределений Стъюдента

6.3.7. Двухмодальные распределения

6.4. Точечные оценки законов распределения

6.5. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Глава 7. Грубые погрешности и методы их исключения

7.1. Понятие о грубых погрешностях

7.2. Критерии исключения грубых погрешностей

Глава 8. Обработка результатов измерений

8.1. Прямые многократные измерения

8.1,1. Равноточные измерения

8.1.2. Идентификация формы распределения результатов измерений

8.2. Однократные измерения

8.3. Косвенные измерения

8.4. Совместные и совокупные измерения

Глава 9. Суммирование погрешностей

9.1. Основы теории суммирования погрешностей

9.2. Суммирование систематических погрешностей

9.3. Суммирование случайных погрешностей

9.4. Суммирование систематических и случайных погрешностей

9.5. Критерий ничтожно малой погрешности

Глава 10. Измерительные сигналы

10.1. Классификация сигналов

10.1.1. Классификация измерительных сигналов

10.1.2. Классификация помех

10.2. Математическое описание измерительных сигналов

10.3. Математические модели элементарных измерительных сигналов

10.4. Математические модели сложных измерительных сигналов

10.5. Квантование и дискретизация измерительных сигналов

10.6. Интегральные параметры периодического сигнала

Глава 11. Средства измерений

11.1. Понятие о средстве измерений

11.2. Статические характеристики и параметры средств измерений

11.3. Динамические характеристики и параметры средств измерений

11.4. Классификация средств измерений

11.5. Элементарные средства измерений

11.6. Комплексные средства измерений

11.6.1. Измерительные приборы и установки

11.6.2. Измерительные системы и измерительно-вычислительные комплексы

11.7. Моделирование средств измерений

11.7.1. Структурные элементы и схемы средств измерений

11.7.2. Структурная схема прямого преобразования

11.7.3. Уравновешивающее преобразование

11.7.4. Расчет измерительных каналов средств измерений

Глава 12. Метрологические

12.2. Метрологические характеристики, предназначенные для определения результатов измерений

12.3. Метрологические характеристики погрешностей средств измерений

12.4. Характеристики чувствительности средств

Измерений к влияющим величинам.

Неинформативные параметры выходного

Сигнала

12.5. Нормирование динамических характеристик средств измерений

12.6. Метрологические характеристики влияния на инструментальную составляющую погрешности измерения

12.7. Комплексы нормируемых метрологических характеристик средств измерений

12.8. Расчет погрешностей средств измерений по нормированным метрологическим характеристикам

12.9. Классы точности средств измерений

Глава 13. Метрологическая надежность средств измерений

13.1. Основные понятия теории метрологической надежности

13.2. Изменение метрологических характеристик средств измерений в процессе эксплуатации

13.3. Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений

13.3.1. Линейная модель изменения погрешности

13.3.2. Экспоненциальная модель изменения погрешности

13.3.3. Логистическая модель изменения погрешности

13.4. Показатели метрологической надежности средств измерений

13.5. Метрологическая надежность и межповерочные интервалы

Заключение

Приложение 1. Статистические таблицы

Приложение 2. Список основных государственных стандартов и нормативных документов в области метрологии

Приложение 3. Рабочая программа по курсу "Теоретическая метрология" специальности 190800 "Метрология и метрологическое обеспечение"

Тема 1. Предмет и задачи метрологии

Тема 2. Основные представления теоретической метрологии

Тема 3. Теория воспроизведения единиц физических величин и передачи их размеров (теория единства измерений)

Тема 4. Погрешности измерений

Тема 5. Систематические погрешности

Тема 6. Случайные погрешности

Тема 7. Грубые погрешности и методы их исключения

Тема 8. Обработка результатов измерений

Тема 9. Суммирование погрешностей

Тема 10. Измерительные сигналы

Тема 11. Средства измерений

Тема 12. Метрологическая служба Российской Федерации

Литература

Глава 1. Предмет и задачи метрологии 6

Глава 2. Основные представления 15

Глава 3. Теория воспроизведения 55

Глава 4. Основные понятия теории 87

Глава 5. Систематические погрешности 105

Глава 6. Случайные погрешности 118

Глава 7. Грубые погрешности 143

Глава 12. Метрологические 266

Глава 13. Метрологическая надежность средств измерений 292

105318, Москва, Измайловское ш., 4

432980, Г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14

4.3. Математические модели и характеристики погрешностей

В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов . Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач. Прежде чем перейти к рассмотрению математических моделей погрешностей измерений, кратко изложим основные моменты теории случайных функций.

Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t Q является случайной величиной X(t 0). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией. При проведении серии опытов можно получить группу или семейство реализаций случайной функции (рис. 4.5). Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить его характеристики и параметры.

Рис. 4.5. Вид случайных функций

Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t 0 (см. рис. 4.5) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t Q . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать с такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, которые подробно рассмотрены в гл. 6, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной функции X (t )

которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь p(x,t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).Таким образом, математическое ожидание в данном случае является средней функцией, вокруг которой группируются конкретные реализации.

Дисперсией случайной функции X (t ) называется неслучайная функция

значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m x (t).

Математическое ожидание случайного процесса и его дисперсия являются весьма важными, но не исчерпывающими характеристиками, так как определяются только одномерным законом распределения. Они не могут характеризовать взаимосвязь между различными сечениями случайного процесса при различных значениях времени t и t". Для этого используется корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

На пpaктике часто используется нормированная корреляционная функция

Она обладает следующими свойствами: 1) при равенстве аргументов t и t" r(t,t") = 1; 2) симметрична относительно своих аргументов: r(t,t") = r(t",t); 3) ее возможные значения лежат в диапазоне [-1; 1], т.е. |r(t,t")| < 1. Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции между случайными величинами, но зависит от двух аргументов и не является постоянной величиной.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными. Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями.

Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, т.е.

m (t) = m x = const. Однако это требование не является существенным, поскольку от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной функции, для которой математическое ожидание равно нулю. Отсюда вытекает, что если случайный процесс нестационарен только за счет переменного во времени (по сечениям) математического ожидания, то операцией центрирования его всегда можно свести к стационарному.

Для стационарного случайного процесса Дисперсия по сечениям является постоянной величиной, т.е. D x (t) = D x = const.

Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t", а только от промежутка  = t" - t, т.е. R(t,t") = R(). Предыдущее условие является частным случаем данного условия, т.е. D x (t) = R(t,t) = R( = 0) = const.

Таким образом, зависимость автокорреляционной функции только от интервала  является единственным существенным условием стационарности случайного процесса.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(), которая описывает частотный состав случайного процесса при  > О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:

Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты S()  0. Площадь, заключенная под кривой S(), пропорциональна дисперсии процесса.

Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность

Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.

Для эргодического стационарного случайного процесса его математическое ожидание может быть определено из выражения

Достаточным условием выполнения этого равенства - эргодичности стационарного случайного процесса X(t) по математическому ожиданию - является выполнение условия

Дисперсия эргодического процесса может быть найдена по формуле

Достаточным условием выполнения этого равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по дисперсии - является

, где R Y () - корреляционная функция стационарного случайного процесса Y(t) = 2 .

Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса может быть определена по формуле

Достаточным условием выполнения последнего равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по корреляционной функции - является

, где R Z () - корреляционная функция стационарного случайного процесса Z (t, ) = X(t) X(t + ).

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Модели для измерений, проводимых различными методами и средствами, могут существенно различаться.

В общем случае абсолютную погрешность измерения Д(1) следует представлять в виде суммы нескольких составляющих:

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.̊

Систематическая составляющая ̊(t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описывающую постоянную или инфра-низкочастотную погрешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систематической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность \(t ) условно принимается за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разработанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны.

Составляющая ̊(t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: ̊ 0в (t) и ̊ 0н (t), которые являются стационарными случайными функциями времени с различными частотными спектрами - высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки.

Составляющая ̊ 0 является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины ̊ 0в (t) и ̊ 0 могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию ̊(t). Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде

Отдельные составляющие этого уравнения могут отсутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.

Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, и поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще в более упрощенном виде, а именно в виде случайной величины. При этом для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.

При выполнении измерений требуется количественно оценить погрешность. Для такой оценки необходимо знать определенные характеристики и параметры модели погрешности. Их номенклатура зависит от вида модели и требований к оцениваемой погрешности. В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа - задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик - погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик - статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

В качестве характеристик случайной погрешности используют СКО случайной составляющей погрешности измерений и, если необходимо, ее нормализованную автокорреляционную функцию.

Систематическая составляющая погрешности измерений характеризуется:

СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений;

Границами, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, и с вероятностью, равной единице).

Требования к характеристикам погрешности и рекомендации по их выбору приведены в нормативном документе МИ 1317-86 "ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров".

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Министерство образования и науки РТ

ГБОУ ВПО Альметьевский Государственный Нефтяной Институт

«Автоматизации и информационных технологий»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Метрология, стандартизация и сертификация»

«Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений»

Студент: Сафин Р.И.

Группа: 34-61

Научный руководитель:

Анохина Е.С.

Альметьевск 2015

метрологический экспоненциальный погрешность логистический

Введение

3. Математические модели изменения во времени погрешности СИ

4. Расчетная часть

Список литературы

Введение

1. Основные понятия теории метрологической надежности

В процессе эксплуатации метрологические характеристики и параметры средства измерений претерпевают изменения. Эти изменения носят случайный монотонный или флуктуирующий характер и приводят к отказам, т.е. к невозможности СИ выполнять свои функции. Отказы делятся на неметрологические и метрологические.

Неметрологическим называется отказ, обусловленный причинами, не связанными с изменением метрологических характеристик средства измерений. Они носят главным образом явный характер, проявляются внезапно и могут быть обнаружены без проведения поверки.

Метрологическим называется отказ, вызванный выходом метрологических характеристик из установленных допустимых границ. Как показывают проведенные исследования, метрологические отказы происходят значительно чаще, чем неметрологические. Это обуславливает необходимость разработки специальных методов их прогнозирования и обнаружения. Метрологические отказы подразделяются на внезапные и постепенные.

Внезапным называется отказ, характеризующийся скачкообразным изменением одной или нескольких. Эти отказы в силу их случайности невозможно прогнозировать. Их последствия (сбой показаний, потеря чувствительности и т.п.) легко обнаруживаются в ходе эксплуатации прибора, т.е. по характеру проявления они являются явными. Особенностью внезапных отказов является постоянство во времени их интенсивности. Это дает возможность применять для анализа этих отказов классическую теорию надежности. В связи с этим в дальнейшем отказы такого рода не рассматриваются.

Постепенным называется отказ, характеризующийся монотонным изменением одной или нескольких метрологических характеристик. По характеру проявления постепенные отказы являются скрытыми и могут быть выявлены только по результатам периодического контроля СИ. В дальнейшем рассматриваются именно такие отказы.

С понятием "метрологический отказ" тесно связано понятие метрологической исправности средства измерений. Под ней понимается состояние СИ, при котором все нормируемые метрологические характеристики соответствуют установленным требованиям. Способность СИ сохранять установленные значения метрологических характеристик в течение заданного времени при определенных режимах и условиях эксплуатации называется метрологической надежностью. Специфика проблемы метрологической надежности состоит в том, что для нее основное положение классической теории надежности о постоянстве во времени интенсивности отказов оказывается неправомерным. Современная теория надежности ориентирована на изделия, обладающие двумя характерными состояниями: работоспособное и неработоспособное. Постепенное изменение погрешности СИ позволяет ввести сколь угодно много работоспособных состояний с различным уровнем эффективности функционирования, определяемым степенью приближения погрешности к допустимым граничным значениям.

Понятие метрологического отказа является в известной степени условным, поскольку определяется допуском на метрологические характеристики, который в общем случае может меняться в зависимости от конкретных условий. Важно и то, что зафиксировать точное время наступления метрологического отказа ввиду скрытого характера его проявления невозможно, в то время как явные отказы, с которыми оперирует классическая теория надежности, могут быть обнаружены в момент их возникновения. Все это потребовало разработки специальных методов анализа метрологической надежности СИ.

Надежность СИ характеризует его поведение с течением времени и является обобщенным понятием, включающим в себя стабильность, безотказность, долговечность, ремонтопригодность (для восстанавливаемых СИ) и сохраняемость.

Стабильность СИ является качественной характеристикой, отражающей неизменность во времени его метрологические характеристики. Она описывается временными зависимостями параметров закона распределения погрешности. Метрологические надежность и стабильность являются различными свойствами одного и того процесса старения СИ. Стабильность несет больше информации о постоянстве метрологических свойств средства измерений. Это как бы его "внутреннее" свойство. Надежность, наоборот, является "внешним" свойством, поскольку зависит как от стабильности, так и от точности измерений и значений используемых допусков.

Безотказностью называется свойство СИ непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени. Она характеризуется двумя состояниями: работоспособным и неработоспособным. Однако для сложных измерительных систем может иметь место и большее число состояний, поскольку не всякий отказ приводит к полному прекращению их функционирования. Отказ является случайным событием, связанным с нарушением или прекращением работоспособности СИ. Это обуславливает случайную природу показателей безотказности, главным из которых является распределение времени безотказной работы СИ.

Долговечностью называется свойство СИ сохранять свое работоспособное состояние до наступления предельного состояния. Работоспособное состояние -- это такое состояние СИ, при котором все его метрологические характеристики соответствуют нормированным значениям. Предельным называется состояние СИ, при котором его применение недопустимо.

После метрологического отказа характеристики СИ путем соответствующих регулировок могут быть возвращены в допустимые диапазоны. Процесс проведения регулировок может быть более или менее длительным в зависимости от характера метрологического отказа, конструкции СИ и ряда других причин. Поэтому в характеристику надежности введено понятие "ремонтопригодность". Ремонтопригодность -- свойство СИ, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, восстановлению и поддержанию его работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта. Оно характеризуется затратами времени и средств на восстановление СИ после метрологического отказа и поддержание его в работоспособном состоянии.

Как будет показано далее, процесс изменения MX идет непрерывно независимо от того, используется ли СИ или оно хранится на складе. Свойство СИ сохранять значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения и транспортирования называется его сохраняемостью.

Прежде чем перейти к рассмотрению показателей, характеризующих метрологическую надежность СИ, необходимо выяснить характер изменения во времени его метрологических характеристик.

2. Изменение метрологических характеристик средств измерений в процессе эксплуатации

Метрологические характеристики СИ могут изменяться в процессе эксплуатации. В дальнейшем будем говорить о изменениях погрешности A(t), подразумевая, что вместо нее может быть аналогичным образом рассмотрена любая другая метрологическая характеристика.

Следует отметить, что не все составляющие погрешности подвержены изменению во времени. Например, методические погрешности зависят только от используемой методики измерения. Среди инструментальных погрешностей есть много составляющих, практически не подверженных старению, например размер кванта в цифровых приборах и определяемая им погрешность квантования.

Изменение метрологических характеристик средств измерений во времени обусловлено процессами старения в его узлах и элементах, вызванными взаимодействием с внешней окружающей средой. Эти процессы протекают в основном на молекулярном уровне и не зависят от того, находится ли СИ в эксплуатации или хранится на консервации. Следовательно, основным фактором, определяющим старение СИ, является календарное время, прошедшее с момента их изготовления, т.е. возраст. Скорость старения зависит прежде всего от используемых материалов и технологий. Исследования показали, что необратимые процессы, изменяющие погрешность, протекают очень медленно и зафиксировать эти изменения в ходе эксперимента в большинстве случаев невозможно. В связи с этим большое значение приобретают различные математические методы, на основе которых строятся модели изменения погрешностей и производится прогнозирование метрологических отказов.

Задача, решаемая при определении метрологической надежности СИ, состоит в нахождении начальных изменений метрологических характеристик и построении математической модели, экстраполирующей полученные результаты на большой интервал времени. Поскольку изменение метрологических характеристик во времени -- случайный процесс, то основным инструментом построения математических моделей является теория случайных процессов.

Изменение погрешности СИ во времени представляет собой нестационарный случайный процесс. Множество его реализаций показаны на рис.1 в виде кривых i модулей погрешности. В каждый момент ti , tони характеризуются некоторым законами распределения плотности вероятности р(i) (кривые 1 и 2 на рис.1,а). В центре полосы (кривая cp(t)) наблюдается наибольшая плотность появления погрешностей, которая постепенно уменьшается к границам полосы, теоретически стремясь к нулю при бесконечном удалении от центра. Верхняя и нижняя границы полосы погрешностей СИ могут быть представлены лишь в виде некоторых квантильных границ, внутри которых заключена большая часть погрешностей, реализуемых с доверительной вероятностью Р. За пределами границ с вероятностью (1 - Р)/2 находятся погрешности наиболее удаленные от центра реализаций.

Для применения квантильного описания границ полосы погрешностей в каждом ее сечении t; необходимо знать оценки математического ожидания cp(ti) и СКО (ti) отдельных реализаций i. Значение погрешности на границах в каждом сечении ti равно (ti) = (ti), x k(ti), где k -- квантильный множитель, соответствующий заданной доверительной вероятности Р, значение которого существенно зависит от вида закона распределения погрешностей по сечениям. Определить вид этого закона при исследовании процессов старения СИ практически не представляется возможным. Это связано с тем, что законы распределения могут претерпевать значительные изменения о течением времени.

Для решения данной проблемы предлагается использовать общее для высокоэнтропийных симметричных законов распределения, свойство, состоящее в том, что при доверительной вероятности Р = 0,9 5%- и 95%-ный квантили отстоят от центра распределения cp(t) на ± l,6(t). Если предположить, что закон распределения погрешностей, деформируясь со временем, остается высоко-энтронкйным и симметричным, го 95% -ный квантиль нестационарного случайного процесса изменения погрешности во времени может быть описана уравнением 0,95(t) = cp(t) + l,6(t).

Метрологический отказ наступает при пересечении кривой i прямых ±пр. Отказы могут наступать в различные моменты времени в диапазоне от tmin до tmax (см. рис.1, а), причем эти точки являются точками пересечения 5%- и 95%-ного квантилей с линией допустимого значения погрешности. При достижении кривой 0б95(t) допустимого предела пр у 5% приборов наступает метрологический отказ. Распределение моментов наступления таких отказов будет характеризоваться плотностью вероятности pн(t), показанной на рис.1, б. Таким образом, в качестве модели нестационарного случайного процесса изменения во времени модуля погрешности СИ целесообразно использовать зависимость изменения во времени 95% -ного квантиля этого процесса.

Рис.1. Модель изменения погрешности во времени (а), плотность

распределения времени наступления метрологических отказов (б),

вероятность безотказной работы (в) и зависимость интенсивности

метрологических отказов от времени (г)

Показатели точности, метрологической надежности и стабильности СИ соответствуют различным функционалам, построенным на траекториях изменения его MXAs(t). Точность СИ характеризуется значением MX в рассматриваемый момент времени, а по совокупности средств измерений -- распределением этих значений, представленных кривой 1 для начального момента и кривой 2 для момента tj. Метрологическая надежность характеризуется распределением моментов времени наступления метрологических отказов (см. рис.1,6). Стабильность СИ характеризуется распределением приращений MX за заданное время.

3. Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений

3.1 Линейная модель изменения погрешности

В общем виде модель погрешности 0,95(t) может быть представлена в виде 0,95(t) = 0 + F(t), где D0 -- начальная погрешность СИ; F(t) -- случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.

Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:

где v скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования, данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лет. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.

Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис.1, а, где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.

Рис. 2. Линейный (а) и экспоненциальный (б, в) законы изменения погрешности

При метрологическом отказе погрешность D0,95(t) превышает значение Dпр=D0+nD3, где D3 -- значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора и его погрешность возвращается к исходному значению D0. По прошествии времени Тр= ti - ti-1 опять происходит отказ (моменты tt, t2, t3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис.1, а, которая может быть представлена уравнением

где n -- число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1 (рис.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности D0,95(t) при отсутствии отказов.

Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости v. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности D3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений D0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения v и запас погрешности D3 совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов -- уровнем культуры ремонтной службы пользователя.

Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности D0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия D0 (0,9... 0,95) Dпр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса D3, нормируемого по отношению к пределу Dпр.

Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают D3 = (0,4...0,5) Dпр, что при средней скорости старения v = = 0,05АП /год позволяет получать межремонтный интервал Тр= D3 = 1/Т/v = 8... 10 лет и частоту отказов р= 0,1... 0,125 год-1.

При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (1) все межремонтные интервалы Тр = 1/Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов р будет постоянной в течение всего срока эксплуатации. Однако проведенные экспериментальные исследования показали, что на практике это не выполняется.

3.2 Экспоненциальная модель изменения погрешности

В реальности для одних приборов межремонтные интервалы уменьшаются, для других -- увеличиваются. Это может быть объяснено тем, что погрешность СИ с течением времени экспоненциально возрастает или убывает. При ускоряющемся возрастании погрешности (рис.1) каждый последующий межремонтный интервал короче предыдущего, и частота метрологических отказов (t) с течением времени возрастает. При замедленном возрастании погрешности (рис.1,в) каждый последующий межремонтный интервал длиннее предыдущего и частота метрологических отказов (t) с течением времени убывает вплоть до нуля.

Для рассмотренных случаев изменения погрешности во времени описываются на основе экспоненциальной модели. В ней частота метрологических отказов

где 0 --- частота метрологических отказов на момент изготовления средства измерений (т.е. при t = 0), год-1; и -- положительное или отрицательное ускорение процесса метрологического старения, год-1(t) и при ее экспоненциальном изменении согласно формуле (3), рассчитывается как. Число отказов n(t) определяется через частоту отказов

Тогда изменение во времени погрешности СИ с учетом формулы (2) имеет вид

Указанная зависимость показана кривыми 1 на рис. 1, б и в.

Практическое использование формулы (5) требует знания четырех параметров: начального значения погрешности (D0), абсолютного запася погрешности (D3), начальной частоты метрологических отказов (0) при t = 0 и ускорения (а) процесса старения. Уравнения для определения названных параметров, получаемые из (5), оказываются трансцендентными, что существенно затрудняет их применение.

С целью упрощения использования уравнения (5) необходимо разложить в ряд экспоненциальную функцию и взять три первых члена этого разложения, В результате зависимость погрешности СИ от времени будет представлена в виде

где v -- начальная скорость возрастания погрешности, %; аD -- абсолютное значение ускорения изменения погрешности, %. В частном случае, когда а = 0, (6) превращается в линейное уравнение вида (1).

Выражение (6) имеет ясный физический смысл и позволяет путем аппроксимации экспериментальных данных о погрешностях СИ за 10-15 лет получить оценки коэффициентов v и а, а по ним рассчитать параметры уравнения (5) в виде 0 = v/D3 и а = а /(D30).

Расчет времени наступления метрологического отказа сводится к определению моментов пересечения кривой D0б95(t) постоянных уровней D0 + D3, D0 + 2D3, ..., D0 + nD3. Они могут быть найдены путем совместного решения уравнений (2) и (5). Момент наступления n-го отказа и соответственно длительность межремонтных периодов можно определить по формулам

Срок службы СИ -- это календарное время, прошедшее с момента его изготовления до конца эксплуатации. При положительном ускорении процесса старения (см. рис.2 б) частота отказов с увеличением срока службы возрастает и по истечении времени Тсл его приходится настолько часто ремонтировать, что эксплуатация становится экономически невыгодной, так как дешевле купить новый прибор. Экономическая целесообразность ремонта определяется отношением средней стоимости одного ремонта срк стоимости си нового средства измерений, названного относительной глубиной ремонта с = ср/сн. Срок службы СИ

Решая полученное уравнение совместно с первым выражением из (7), можно рассчитать общее число отказов (ремонтов) СИ в течение срока эксплуатации.

Пример 1. Для электромеханических измерительных приборов магнитоэлектрической системы класса точности 0,5 глубина ремонта составляет с = 0,3... 0,4; частота метрологических отказов на момент изготовления СИ 0 0,11 год-1, ускорение процесса старения а 0,19 год-1. Определите срок службы таких приборов и общее число отказов.

Срок службы прибора рассчитывается по формуле (8):

Уравнение для расчета общего числа отказов имеет вид

Подставив в него все числовые данные, получим

Данные расчета соответствуют экспериментальным данным, согласно которым средний срок службы рассматриваемых приборов составляет 11-12 лет, в течение которых они имеют по 4-6 ремонтов.

При отрицательном ускорении процесса старения СИ межремонтный период увеличивается. После некоторого числа ремонтов пЈон становится бесконечным, метрологические отказы не возникают и СИ работает до тех пор, пока морально не устареет. В этом случае (a < 0) число метрологических отказов

Погрешность СИ стремится к пределу, равному, согласно (3),

Экспоненциальная модель процесса старения позволяет описать изменения погрешности СИ при увеличении его возраста от„ года и практически до бесконечности. Однако данная модель имеет ряд недостатков. Для СИ с отрицательным ускорением процесса старения она прогнозирует при t стремление погрешности к предельному значению (13). В то же время для СИ с положительным ускорением модель прогнозирует неограниченное возрастание погрешности с течением времени, что противоречит практике.

3.3 Логистическая модель изменения погрешности

Некоторые из недостатков экспоненциальной модели старения удается устранить при использовании так называемой логистической модели. Кривые, описывающие процесс изменения погрешности СИ и частоты отказов, приведены на рис. 3. В области малых значений погрешности (0,2-1%) зависимость 0,95(t) экспоненциально ускоряется, а в области больших значений -- экспоненциально замедляется и при очень больших значениях времени выходит на некоторый предельный уровень, выше которого погрешность не возрастает. Кривая частоты метрологических отказов (см. рис. 3) при малых значениях времени возрастает, достигая своего максимума при некотором значении Тс, после которого начинается спад до нуля. Участки кривой D0,95(t), соответствующие диапазонам 1 и 2 изменения времени, не обязательно должны быть симметричны относительно точки (Dс, Тс). Ускорения процесса старения at и а2, как правило, имеют разные значения. Частота метрологических отказов на участках 1 и 2 соответственно равна

где 01, 02 -- начальные частоты метрологических отказов на участках 1 и 2. Абсцисса точки, разделяющей два участка,

Рис. 2, Логистическая модель временного изменения погрешности

Используя параметры логистической модели процесса старения, можно обоснованно прогнозировать моменты наступления метрологических отказов tn и изменение с возрастом наработки на отказ Тп. Момент наступления n-го метрологического отказа при t < Тс и t > Тс определяется соответственно по формулам:

Длительность межремонтных интервалов при

где n-- порядковый номер ремонта.

Проведенные экспериментальные исследования показали, что длительность межремонтных интервалов, начиная со второго, монотонно и ускоренно возрастает. Отличие первого интервала от последующих состоит в том, что на нем СИ работает с запасом нормируемого значения погрешности, обеспеченным изготовителем. На остальных межремонтных интервалах этот запас обеспечивается ремонтными службами предприятия. Многократное превышение первого интервала по сравнению с остальными указывает на то, что ремонтные запасы погрешности Dр предусматриваются во много раз меньшими, чем заводские запасы D3.

Кривая изменения погрешности D0,95(t) в случае использования логистической модели при t < Тс и t > Тс имеет соответственно вид

При практическом использовании приведенных в этом разделе формул необходимо помнить, что входящие в них параметры являются оценками, которые должны быть получены на основе обработки экспериментальных данных для достаточно представительных выборок однотипных СИ. Поэтому сами оценки параметров имеют определенный разброс, поскольку представляют собой некоторые средние оценки обследованной группы приборов, у отдельных экземпляров которых могут быть весьма существенные индивидуальные отклонения постоянных D0,95, D3, 01 и аi. В связи с этим все рассчитанные по приведенным формулам показатели должны рассматриваться лишь как средние прогнозируемые величины.

К недостаткам логистической модели следует отнести то, что она не позволяет описывать изменение погрешности СИ от момента изготовления прибора до нескольких месяцев его эксплуатации. Это связано с тем, что как в линейной, так и в экспоненциальной модели значение начальной погрешности считалось постоянной величиной, неизменной с момента изготовления СИ. В действительности указанная погрешность образуется из различных составляющих, возникающих на начальных стадиях эксплуатации СИ.

Одним из вариантов описания изменения погрешности СИ, начиная с первых секунд его эксплуатации, является спектральное описание погрешности. Оно позволяет подробно описать многие особенности изменения погрешности прибора. Главный недостаток спектрального описания состоит в очень большом объеме экспериментальных данных, необходимых для построения спектральных кривых.

Рассмотренные выше модели являются разновидностями модели нестационарного монотонного процесса изменения погрешности во времени. Их общий недостаток -- идеализация случайных процессов изменения метрологических характеристик средства измерений, которые представляются монотонными. При этом не учитываются флуктуационные, обратимые процессы изменения параметров и характеристик приборов. Данный недостаток в той или иной степени устранен в полиномиальной и диффузионной марковской моделях, а также в модели на основе процессов авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего.

4. Расчётная часть

Пример 1. Для электромеханических измерительных приборов магнито- электрической системы класса точности 0,5 глубина ремонта составляет с = 0,3... 0,4; частота метрологических отказов на момент изготовления ш0» 0,11 год1, ускорение процесса старения а я 0,19 год-1. Определите срок службы таких приборов и общее число отказов

Срок службы прибора рассчитывается по формуле (1):

Уравнение для расчёта общего числа отказов имеет вид

Подставив в него числовые данные, получим.

Данные расчёта соответствуют экспериментальным данным, согласно которым средний срок службы рассматриваемых приборов составляет 11-12 лет, в течение которых они имеют по 4-6 ремонтов.

При отрицательном ускорении процесса старения СИ межремонтный период увеличивается. После некоторого числа ремонтов n? он становится бесконечным, метрологические отказы не возникают и СИ работает до тех пор, пока морально не устареет. В этом случае (а < 0) число метрологических отказов.

Экспоненциальная модель процесса старения позволяет описать 141 изменения погрешности СИ при увеличении его возраста от года и Практически до бесконечности. Однако данная модель имеет ряд недостатков. Для СИ с отрицательным ускорением процесса старения на прогнозирует при стремление погрешности к предельному значению. В то же время для СИ с положительным ускорением модель прогнозирует неограниченное возрастание погрешности с течением времени, что противоречит практике. Некоторые недостатки экспоненциальной модели старения удается устранить при использовании так называемой логистической модели, а также полиномиальными и диффузионными марковскими моделями или моделями на основе процессов авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего. В технике используется большое число показателей надежности, которые приведены в стандарте ГОСТ 27.002--89. Основные из них находят применение и в теории метрологической надежности. Знание показателей метрологической надежности позволяет потребителю оптимально использовать СИ, планировать мощности ремонтных участков, размер резервного фонда приборов, обоснованно назначать межповерочные интервалы и проводить мероприятия по техническому обслуживанию и ремонту СИ. Метрологические отказы при эксплуатации СИ составляют более 60% на третьем году эксплуатации и достигают 96% при работе более четырех лет. В качестве показателей ремонтопригодности используются вероятность и среднее время восстановления работоспособности СИ. Вероятностью восстановления работоспособного состояния называется вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния СИ не превысит заданное значение. Она представляет собой значение функции распределения времени восстановления при t=T3 , где T3 -- заданное время восстановления. Средним временем восстановления работоспособного состояния называется математическое ожидание времени восстановления, определяемое до его функции распределения.

Пример 2. Отсчет по равномерной шкале прибора с нулевой отметкой и предельным значением 50 А составил 25 А. Пренебрегая другими видами погрешностей, оценить пределы допускаемой абсолютной погрешности этого отсчета при условии, что класс точности прибора равен: 0,02/0,01; ; 0,5.

1. Для прибора с классом точности 0,02/0,01, согласно формуле (12.4), при х = 25 A, xk = 50 А, с = 0,02, d = 0,01 (учитывая, что относительная погрешность выражается в процентах) получим

2. Для прибора класса точности

3. Для прибора класса точности 0,5, учитывая, что нормирующее значение xn равно пределу измерения 50 А, .получаем:

g = ±(100%)D/хN; D = ±50А(0,5%)/100 = ± 0,25 А.

Пример 3. Электроизмерительный преобразователь состоит из четырех транзисторов с интенсивностью отказов, восьми резисторов с и шести керамических сопротивлении с. Определить вероятность внезапного отказа этого средства измерений за 1000 ч работы.

Решение. Интенсивность отказов электроизмерительного преобразователя

2. Вероятность безотказной работы за 1000 ч

3. Вероятность отказа за это же время

В данной работе я изучил основные понятия теории метрологической надёжности. Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений.

На основе проделанной работы могу сделать следующие выводы: В процессе эксплуатации метрологические характеристики средств измерений меняются. Эти изменения носят случайный характер и в итоге приводят к отказу СИ.

Надёжность объекта зависит от количества факторов, характер воздействия которых, как правило, является случайным. В связи с этим подавляющее большинство количественных показателей надёжности имеют вероятностный характер и дают представление о надёжности всей совокупности изделий какого-либо определённого типа, но не позволяют оценить надёжность данного конкретного образца.

Список литературы

1. Земельман М. А. - Измерительная техника, 2011, № 4.

2. Земельман М. А., Кнюпфер А. П., Кузнецов В. П. - Измерительная техника 2010, № 2.

3. Учебники для студентов URL: http://uchebnik.biz/ (Дата обращения: 30.03.2015).

4.А.Г.Сергеев - Метрология

4. Большая Энциклопедия Нефти Газа, 2008-2014. URL: http://www.ngpedia.ru/id576581p3.html/. (Дата обращения: 30.03.2015).

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Исследование вычислительных систем неоднородной структуры. Применение программы GPSS для создания имитационной модели предложенной системы массового обслуживания. Оценка погрешности, переходного периода, чувствительности и устойчивости измерений.

курсовая работа , добавлен 20.07.2012


Определение понятий "функциональные и структурные математические модели", рассмотрение их значение, главных функций и целей. Составление модели "черного ящика", простейшее отображение реальной системы. Метод исследования объектов с помощью их моделей.

реферат , добавлен 17.11.2015


Определение среднего арифметического исправленных результатов многократных наблюдений, оценка среднего квадратического отклонения. Расчет доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения. Методика выполнения прямых измерений.

лабораторная работа , добавлен 26.05.2014


Прогноз курса доллара согласно линейной модели, показательной, модифицированной экспоненты, кривой Гомперца и логистической кривой. План объема продажи и структура товарооборота. Метод потенциалов для определения оптимального плана поставок продукции.

контрольная работа , добавлен 04.04.2012


Сущность метода наименьших квадратов. Экономический смысл параметров кривой роста (линейная модель). Оценка погрешности и проверка адекватности модели. Построение точечного и интервального прогноза. Суть графического построения области допустимых решений.

контрольная работа , добавлен 23.04.2013


Исследование линейной модели парной регрессии зависимости стоимости однокомнатных квартир от общей площади жилья. Пространственно-параметрическое моделирование рынка вторичного жилья. Особенности изменения среднего уровня цены в пространстве и во времени.

курсовая работа , добавлен 26.10.2014


Теория измерений является составной частью эконометрики, которая входит в состав статистики объектов нечисловой природы. Краткая история теории измерений. Основные шкалы измерения. Инвариантные алгоритмы и средние величины – в т. ч. в порядковой шкале.

реферат , добавлен 08.01.2009


Данные для разработки трендовой модели изменения объемов грузооборота предприятий транспорта. Проверка гипотезы на наличие тенденции. Понятие и обоснование периода упреждения прогноза. Выбор оптимальной прогнозной модели по коэффициенту детерминации.

курсовая работа , добавлен 01.10.2014


Решение задачи об оптимальной работе предприятия электронной промышленности, выпускающего две модели радиоприемников. Определение интервала изменения прибыли от продажи двух радиоприемников. Нахождение пределов изменения коэффициентов целевой функции.

курсовая работа , добавлен 17.12.2014


Характеристика зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя на основе полученных статистических данных (линейной зависимости). Расчет мультиколлинеарности между объясняющими переменными, анализ надежности оценок параметров модели.

Математические модели

Построенные выше физические модели крайне важно описать с помощью символов в виде математических формул и уравнений. Эти символы – параметры объектов (они же обозначают физические величины) – связаны между собой в виде выше сформулированных физических законов.

Совокупность формул и уравнений, устанавливающих связь между этими параметрами (физическими величинами) на базе законов физики и полученных в рамках выбранных физических моделœей, будем называть математической моделью объекта или процесса.

Следовательно, о физических величинах можно говорить как о параметрах, характеризующих и качественно, и количественно построенные физические модели.

Процесс создания математической модели можно также разделить на 3 этапа:

Этап 1. Составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействия объектов в рамках выбранных физических моделœей.

Этап 2. Решение и исследование сугубо математических задач сформулированных на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, ᴛ.ᴇ. получение теоретических следствий и численных данных. На этом этапе важную роль играет математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

Этап 3. Выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений с результатами измерений в пределах точности последних. Отклонение результатов расчётов от результатов измерений свидетельствует:

Либо о неправильности применённых математических методов;

Либо о неверности принятой физической модели;

Либо о неверности процедуры измерений.

Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.

Бывает, что при построении математической модели некоторые её характеристики или связи между параметрами остаются неопределёнными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. К примеру: иногда оказывается, что число уравнений, описывающих свойства объекта и связи между объектами, меньше числа параметров (физических величин), характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные уравнения, характеризующие объект и его свойства, иногда даже пытаются угадать эти свойства, для того, чтобы задача была решена, а результаты соответствовали результатам опытов в пределах заданной погрешности. Подобного образа задачи называются обратными.

Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, ᴛ.ᴇ. проблема соответствия модели объекта и реального объекта͵ является ключевой проблемой в теории познания. Сегодня общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт. Модель адекватна объекту, в случае если результаты теоретических исследований (расчёт) совпадают с результатами опыта (измерений) в пределах погрешности последнего.

Погрешности имеют место не только при измерениях, но и при теоретическом моделировании. Для теоретических моделœей, в соответствии с природой возникновения, будем различать:

Погрешности, возникающие при разработке физической модели;

Погрешности, возникающие при составлении математической модели;

Погрешности, возникающие при анализе математической модели;

Погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.

В последнем случае, к примеру, число π в рамках символической записи как отношение длины окружности к диаметру представляет собой точное число, но попытка записать его в численном виде (π=3,14159265…) вызывает погрешность, связанную с конечным числом разрядов.

Перечисленные погрешности возникают всœегда. Избежать их невозможно, и их называются методическими . При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.

Пример : погрешности физической и математической модели маятника, возникающие при измерении периода колебаний маятника в виде тела, подвешенного на нити.

Физическая модель маятника :

Нить – невесома и нерастяжима;

Тело – материальная точка;

Трение отсутствует;

Тело совершает плоское движение;

Гравитационное поле – однородное (ᴛ.ᴇ. g =const во всœех точках пространства, в которых находится тело);

Влияние других тел и полей на движение тела отсутствует.

Очевидно, что реальное тело не должна быть материальной точкой, оно имеет объём и форму, в процессе движения или со временем тело деформируется. Вместе с тем, нить имеет массу, она обладает упругостью и также деформируется. На движение маятника влияет движение точки подвеса, обусловленное действием вибраций, всœегда имеющих место. Также на движение маятника влияет сопротивление воздуха, трение в нити и способ ее крепления, внешние магнитное и электрическое поля, неоднородность гравитационного поля Земли и даже влияние гравитационного поля Луны, Солнца и окружающих тел.

Перечисленные факторы, в принципе, бывают учтены, однако сделать это достаточно трудно. Для этого потребуется привлечь почти всœе разделы физики. В конечном счете, учет этих факторов значительно усложнит физическую модель маятника и ее анализ. Не учет перечисленных, а также множества других, не упомянутых здесь факторов, существенно упрощает анализ, но приводит к погрешностям исследования.

Математическая модель маятника :

в рамках выбранной простейшей физической модели математическая модель маятника – дифференциальное уравнение движения маятника – имеет следующий вид:

, (1), где L – длина нити; φ – отклонение тела от положения равновесия.

При φ<<1 обычно считают, что sin φʼʼφ, и тогда уравнение движения записывается:.(2)

Это – линœейное дифференциальное уравнение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ должна быть решено точно. Данноерешение имеет вид , где . Отсюда следует, что период колебаний маятника Т 0 =2p/w 0 не зависит от амплитуды φ 0 . При этом, это решение нельзя считать точным решением задачи о колебаниях маятника, представленного простейшей физической моделью, поскольку исходное уравнение (1) было другим.

Можно уточнить решение. В случае если разложить sin φ в ряд и учесть хотя бы первые два члена разложения, ᴛ.ᴇ. считать, что sinφʼʼφ+φ 3 /6, то решение дифференциального уравнения существенно усложнится. Приближенно его можно записать в виде , где . Отсюда следует, что в данном приближении период колебаний маятника Т =2p/w зависит от амплитуды колебаний по параболическому закону.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, погрешность математической модели (уравнение (2)), связанная с заменой sin φ на φ, приводит к погрешности результата расчета периода колебаний маятника. Оценка этой погрешности должна быть получена из решения задачи во втором приближении.

Проблема построения и анализа математической модели объекта исследования с заданной точностью, а также оценка погрешности расчётов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный математический анализ и самой модели, и применяемых методов решения.

К примеру, не имеет смысла требование решения уравнения (1) с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели. В частности, в предыдущем примере нет смысла делать замену sinφʼʼφ+φ 3 /6 вместо sinφʼʼφ, в случае если нить заметно деформируется или сопротивление воздуха велико.

Применение ЭВМ значительно увеличило возможности построения и исследования математических моделœей в технике, однако не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и языков программирования позволит решить любую физическую и прикладную задачу. Дело в том, что даже самые изящные и точные методы расчетов не могут исправить ошибки, допущенные при построении физической модели. Действительно, в случае если длина L не постоянна, или если размеры тела сопоставимы с длиной нити, или трение велико и колебания маятника быстро затухают, то даже абсолютно точное решение уравнения (1) не позволит получить точное решение задачи о колебаниях маятника.

Общая характеристика понятия “измерение” (сведения из метрологии)

В метрологии определœение понятия “измерение” даёт ГОСТ 16.263-70.

Измерение – научно обоснованный опыт для получения количественной информации с требуемой или возможной точностью о параметрах объекта измерения.

Измерение включает в себя следующие понятия:

Объект измерения;

Цель измерения;

Условия измерения (совокупность влияющих величин, описывающих состояние окружающей среды и объектов);

Метод измерения, ᴛ.ᴇ. совокупность приёмов использования принципов и средств измерений (принцип измерения – совокупность физических явлений, положенных в основу измерения);

Методика измерения, ᴛ.ᴇ. установленная совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение необходимых результатов в соответствии с данным методом.

Средства измерения:

▪ измерительные преобразователи,

▪ измерительные приборы,

▪ измерительные установки,

▪ измерительные системы,

▪ измерительно-информационные системы;

Результаты измерений;

Погрешность измерений;

Понятия, характеризующие качество измерений:

▪ достоверность (характеризуется доверительной вероятностью, ᴛ.ᴇ. вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины находится в указанных пределах);

▪ правильность (характеризуется значением систематической погрешности);

▪ сходимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами и в одних и тех же условиях; отражает влияние случайных погрешностей на результат);

▪ воспроизводимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых в разных местах, разными методами и средствами, но приведенных к одним и тем же условиям).

Погрешности теоретических моделей - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Погрешности теоретических моделей" 2017, 2018.