В этой статье мы разберем деление целых чисел без остатка. Здесь мы будем говорить лишь о делении таких целых чисел, абсолютные величины которых делятся нацело (смотрите смысл деления натуральных чисел без остатка). Про деление целых чисел с остатком мы побеседуем в отдельной статье.

Сначала мы введем термины и обозначения, которые будем использовать для описания деления целых чисел. Дальше укажем смысл деления целых чисел, который поможет нам получить правила деления целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. Здесь же мы рассмотрим примеры применения правил деления целых чисел. Наконец, мы покажем, как выполняется проверка результата деления целых чисел.

Навигация по странице.

Термины и обозначения

Целое число, которое делят, называется делимым . Целое число, на которое проводится деление, называется делителем . Результат деления целых чисел называется частным .

Деление обозначается символом вида:, который располагается между делимым и делителем (иногда встречается символ ÷, который также обозначает деление). Деление целого числа a на целое число b можно записать с использованием символа: как a:b . Если в результате деления целого числа a на целое число b получается число c , то этот факт удобно записывать в виде равенства a:b=c . вида a:b также называют частным, как и значение этого выражения.

Смысл деления целых чисел

Мы знаем о существовании связи между умножением и делением натуральных чисел . Из этой связи мы заключили, что деление – это нахождение неизвестного множителя, когда известен второй множитель и произведение. Делению целых чисел придадим этот же смысл. То есть, деление целых чисел – это нахождение по данному произведению и одному из целых множителей другого целого множителя.

Исходя из смысла деления целых чисел, мы можем сказать, что если произведение двух целых чисел a и b равно c , то частное от деления c на a равно b , и частное от деления c на b равно a . Приведем пример. Допустим нам известно, что произведение двух целых чисел 5 и −7 равно −35 , тогда мы можем сказать, что частное (−35):5 равно −7 , а частное (−35):(−7) равно 5 .

Отметим, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом (если a делится на b без остатка).

Правила деления целых чисел

Смысл деления целых чисел, указанный в предыдущем пункте, позволяет утверждать, что один из двух множителей является частным от деления их произведения на другой множитель. Но он не дает способа нахождения неизвестного множителя по известному множителю и произведению. Например, равенство 6·(−7)=−42 позволяет нам сказать, что частные (−42):6 и (−42):(−7) равны соответственно −7 и 6 . Однако если нам известно, что произведение двух множителей равно 45 и один из множителей равен −5 , то смысл деления целых чисел нам не дает прямого ответа на вопрос, чему равен другой множитель.

Эти рассуждения приводят нас к следующему выводу: нам нужны правила, позволяющие выполнять деление одного целого числа на другое. Сейчас мы их и получим. Эти правила позволят нам свести деление целых чисел к делению натуральных чисел.

Деление целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа , поэтому деление целых положительных чисел проводится по всем правилам деления натуральных чисел . Здесь больше нечего добавить, стоит лишь рассмотреть решение пары примеров, в которых проводится деление целых положительных чисел.

Пример.

Выполните деление целого положительного числа 104 на целое положительное число 8 .

Решение.

Делимое 104 в данном случае можно представить в виде суммы 80+24 , после чего воспользоваться правилом деления суммы на данное число . Получаем 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13 .

Ответ:

104:8=13 .

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Сформулировать правило деления целых отрицательных чисел нам помогут следующие рассуждения.

Пусть нам нужно разделить целое отрицательное число a на целое отрицательное число b . Обозначим буквой c искомое частное от деления a на b , то есть, a:b=c . Выясним сначала, чему равна c .

В силу смысла деления целых чисел должно быть справедливо равенство b·c=a . Тогда . позволяют нам записать равенство , следовательно, . Из полученного равенства следует, что , то есть, абсолютная величина частного от деления равна частному от деления модулей делимого и делителя .

Осталось определить знак числа c . Другими словами выясним, положительным или отрицательным целым числом является результат деления целых отрицательных чисел.

По смыслу деления целых чисел справедливо равенство b·c=a . Тогда из правил умножения целых чисел следует , что число c должно быть положительным. В противном случае b·c будет являться произведением целых отрицательных чисел, которое по правилу умножения будет равно произведению модулей множителей, следовательно, будет положительным числом, а у нас число a – целое отрицательное. Таким образом, частное c от деления целых отрицательных целых чисел есть целое положительное число .

Теперь объединим сделанные выводы в правило деления целых отрицательных чисел. Чтобы разделить целое отрицательное число на целое отрицательное число, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя . То есть, если a и b – целые отрицательные числа, то .

Рассмотрим применение правила деления целых отрицательных чисел при решении примеров.

Пример.

Разделите целое отрицательное число −92 на целое отрицательное число −4 .

Решение.

По правилу деления целых отрицательных чисел искомый результат равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя. Получаем .

Ответ:

(−92):(−4)=23 .

Пример.

Вычислите частное (−512):(−32) .

Решение.

Нам нужно выполнить деление целых отрицательных чисел, воспользуемся соответствующим правилом. Модуль делимого равен 512 , модуль делителя равен 32 . Осталось разделить 512 на 32 . Выполним деление столбиком:

Ответ:

(−512):(−32)=16 .

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Получим правило деления целых чисел с разными знаками.

Пусть мы делим целое число a на целое число b (знаки чисел a и b различны, то есть, если a – целое положительное число, то b – отрицательное, а если a – отрицательное, то b – положительное число) и в результате получаем число c .

В предыдущем пункте этой статьи мы выяснили, что модуль частного равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя, то есть, . Теперь мы можем вычислить абсолютную величину частного от деления целых чисел с разными знаками. Осталось выяснить знак числа c .

Смысл деления целых чисел нам дает равенство b·c=a . Возможны два варианта: либо a – положительное целое число, b – отрицательное; либо a – отрицательное целое число, b – положительное. В любом из этих случаев, в силу правил умножения целых чисел, число c должно быть отрицательным. Действительно, по правилам умножения целых чисел, если и b и c отрицательные целые числа, то их произведение будет положительным числом, а если b положительное, c – отрицательное, то их произведение есть отрицательное число.

Теперь мы можем сформулировать правило деления целых чисел с разными знаками. Чтобы разделить целые числа с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус . То есть, если a и b – целые числа с разными знаками, то .

Разберем решения примеров, в которых применяется правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример.

Разделите целое положительное число 56 на целое отрицательное число −4 .

Решение.

Будем действовать согласно правилу деления целых чисел с разными знаками. Модуль делимого равен 56 , модуль делителя равен 4 . Вычислим частное от деления модуля делимого на модуль делителя: 56:4=14 . Перед полученным числом осталось поставить знак минус, имеем −14 .

Таким образом, при делении целых чисел с разными знаками 56 и −4 мы получили число −14 .

Ответ:

56:(−4)=−14 .

Пример.

Выполните деление целого числа −1 625 на 25 .

Решение.

Нам нужно провести деление целых чисел с разными знаками. Воспользуемся полученным правилом деления: (1 625 можно разделить на 25 в столбик, или представить 1 625 в виде суммы 1 500+125 и воспользоваться правилом деления суммы на данное число).

Ответ:

(−1 625):25=−65 .

Деление нуля на целое число

Отдельно нужно остановиться на делении нуля на целое число, отличное от нуля. В этих случаях правило деления таково: частное от деления нуля на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю . То есть, 0:b=0 для любого целого и отличного от нуля числа b .

Приведем пояснения озвученного правила деления нуля на целое число. Предположим, что в результате деления нуля на целое число b (b не равно нулю) получается число c . Тогда по смыслу деления целых чисел должно быть справедливо равенство b·c=0 . Мы знаем, что произведение двух целых чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (об этом мы упоминали в разделе теории умножение целого числа на нуль). Так как b не равно нулю, значит, нулю должен быть равен множитель c . Следовательно, частное от деления нуля на целое число, отличное от нуля, равно нулю.

Приведем несколько примеров. Частное от деления 0 на целое отрицательное число −908 равно 0 , частное 0:4 также равно нулю.

На нуль делить нельзя

Деление целого числа на нуль не определяется. Другими словами, на нуль делить нельзя.

Почему же так? Давайте предположим, что при делении целого числа a на нуль получается целое число c . Тогда по смыслу деления целых чисел справедливо равенство c·0=a . Из правила умножения целого числа на нуль следует, что c·0=0 , каким бы не было число c . Сопоставляя два полученных равенства, делаем вывод, что если делимое a отлично от нуля, то равенство c·0=a будет неверным, что свидетельствует о том, что на нуль нельзя делить число, отличное от нуля.

А можно ли делить нуль на нуль? Давайте предположим, что при делении нуля на нуль получается целое число c , тогда в силу смысла деления целых чисел должно быть верно равенство c·0=0 . Это равенство действительно верно, но оно верно не только для какого-то конкретного целого числа c , но и вообще для любого числа c . Иными словами, результатом деления нуля на нуль можно принять любое целое число. Так вот чтобы избежать этой многозначности, решили не рассматривать деление на нуль.

Итак, делить на нуль нельзя.

Проверка результата деления целых чисел

Проверка результата деления целых чисел осуществляется при помощи умножения. Чтобы проверить, правильно ли было проведено деление целых чисел, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получится число, равное делимому, то результат деления правильный .

Рассмотрим решение примера, в котором выполняется проверка результата деления целых чисел.

Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой - так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .

Например , если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :

512:8=?

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2)).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например , 1976 разделим на 26.

• Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов - 19.
• Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов - 197.
• Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
• Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
• 156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976: 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Десятичные дроби онлайн. Перевод десятичных дробей в обычные и обычных дробей в десятичные.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например , 64 разделим на 5.

• 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
• Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
• 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
• 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
• 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64: 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.

Несмотря на то что математика кажется большинству людей наукой сложной, это далеко не так. Многие математические операции довольно легко понять, особенно если знать правила и формулы. Так, зная таблицу умножения, можно быстро перемножать в уме Главное - постоянно тренироваться и не забывать правил умножения. То же самое можно сказать и о делении.

Давайте же разберем деление целых чисел, дробных и отрицательных. Вспомним об основных правилах, приемах и методах.

Операция деления

Начнем, пожалуй, с самого определения и названия чисел, которые участвуют в данной операции. Это значительно облегчит дальнейшее изложение и восприятие информации.

Деление - одна из четырех основных математических операций. Изучение ее начинается еще в начальной школе. Именно тогда детям показывают первый пример деления числа на число, объясняют правила.

В операции участвуют два числа: делимое и делитель. Первое - число, которое делят, второе - на которое делят. Результатом деления является частное.

Имеется несколько обозначений для записи данной операции: «:», «/» и горизонтальная черта - запись в виде дроби, когда вверху находится делимое, а внизу, под чертой - делитель.

Правила

При изучении той или иной математической операции учитель обязан познакомить учеников с основными правилами, которые следует знать. Правда, не всегда они запоминаются так хорошо, как хотелось бы. Именно поэтому мы решили немного освежить в вашей памяти четыре фундаментальных правила.

Основные правила деления чисел, которые стоит помнить всегда:

1. Делить на ноль нельзя. Это правило следует запомнить в первую очередь.

2. Делить ноль можно на любое число, но в итоге всегда будет ноль.

3. Если число поделить на единицу, мы получим то же число.

4. Если число разделить на само себя, мы получим единицу.

Как видите, правила довольно простые и легко запоминаются. Хотя некоторые и могут забывать такое простое правило, как невозможность или же путать с ним деление ноля на число.

на число

Одно из наиболее полезных правил - признак, по которому определяется возможность деления натурального числа на другое без остатка. Так, выделяют признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9, 10. Рассмотрим их подробнее. Они существенно облегчают выполнение операций над числами. Также приведем для каждого правила пример деления числа на число.

Данные правила-признаки довольно широко используются математиками.

Признак делимости на 2

Наиболее простой для запоминания признак. Число, которое оканчивается на четную цифру (2, 4, 6, 8) или 0, всегда делится на два нацело. Довольно просто для запоминания и использования. Так, число 236 оканчивается на четную цифру, а значит, делится на два нацело.

Проверим: 236:2 = 118. Действительно, 236 делится на 2 без остатка.

Данное правило наиболее известно не только взрослым, но и детям.

Признак делимости на 3

Как правильно выполнить деление чисел на 3? Запомнить следующее правило.

Число делится на 3 нацело в том случае, если сумма его цифр кратна трем. Для примера возьмем число 381. Сумма всех цифр будет составлять 12. Данное трем, а значит делится на 3 без остатка.

Также проверим данный пример. 381: 3 = 127, значит все верно.

Признак делимости чисел на 5

Тут также все просто. Разделить на 5 без остатка можно лишь те числа, которые оканчиваются на 5 либо же на 0. Для примера возьмем такие числа, как 705 или же 800. Первое заканчивается на 5, второе - на ноль, следовательно они оба делятся на 5. Это одно из простейших правил, которое позволяет быстро осуществлять деление на однозначное число 5.

Проверим данный признак на таких примерах: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Как видите, признак действует.

Делимость на 6

Если вы хотите узнать, делится ли число на 6, то вам сначала нужно выяснить, делится ли оно на 2, а затем - на 3. Если да, то число можно без остатка разделить на 6. К примеру, число 216 делится и на 2, так как заканчивается на четную цифру, и на 3, так как сумма цифр равна 9.

Проверим: 216:6 = 36. Пример показывает, что данный признак действует.

Делимость на 9

Поговорим также и о том, как осуществить деление чисел на 9. На данное число делятся те сумма цифр которых кратна 9. Аналогично правилу деления на 3. Например, число 918. Сложим все цифры и получим 18 - число, кратное 9. Значит, оно делится на 9 без остатка.

Решим данный пример для проверки: 918:9 = 102.

Делимость на 10

Последний признак, который стоит знать. На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0. Данную закономерность довольно просто и легко запомнить. Так, 500:10 = 50.

Вот и все основные признаки. Запомнив их, вы сможете облегчить себе жизнь. Конечно, есть и другие числа, для которых существуют признаки делимости, но мы с вами выделили лишь основные из них.

Таблица деления

В математике существует не только таблица умножения, но и таблица деления. Выучив ее, можно с легкостью выполнять операции. По сути, таблица деления представляет собой таблицу умножения наоборот. Составить ее самостоятельно не представляет труда. Для этого следует переписать каждую строку из таблицы умножения таким образом:

1. Ставим произведение числа на первое место.

2. Ставим знак деления и записываем второй множитель из таблицы.

3. После знака равенства записываем первый множитель.

Например, возьмем следующую строку из таблицы умножения: 2*3= 6. Теперь перепишим ее согласно алгоритму и получим: 6 ÷ 3 = 2.

Довольно часто детей просят самостоятельно составить таблицу, таким образом развивая их память и внимание.

Если же у вас нет времени на ее написание, то можете воспользоваться представленной в статье.

Виды деления

Поговорим немного о видах деления.

Начнем с того, что можно выделить деление целых чисел и дробных. При этом в первом случае можно говорить об операциях с целыми числами и десятичными дробями, а во втором - только о дробных числах. При этом дробным может являться как делимое или делитель, так и оба одновременно. связано с тем, что операции над дробями отличаются от операций с целыми числами.

Исходя из чисел, которые участвуют в операции, можно выделить два вида деления: на однозначные числа и на многозначные. Наиболее простым считается деление на однозначное число. Здесь вам не нужно будет проводить громоздкие вычисления. К тому же хорошо может помочь таблица деления. Делить же на другие - двух-, трехзначные числа - тяжелее.

Рассмотрим примеры для данных видов деления:

14:7 = 2 (деление на однозначное число).

240:12 = 20 (деление на двузначное число).

45387: 123 = 369 (деление на трехзначное число).

Последним можно выделить деление, в котором участвуют положительные и отрицательные числа. При работе с последними следует знать правила, по которым происходит присвоение результату положительного или отрицательного значения.

При делении чисел с разными знаками (делимое - число положительное, делитель - отрицательное, или наоборот) мы получаем отрицательное число. При делении чисел с одним знаком (и делимое, и делитель - положительные или же наоборот) - получаем число положительное.

Рассмотрим для наглядности следующие примеры:

Деление дробей

Итак, мы с вами разобрали основные правила, привели пример деления числа на число, теперь поговорим о том, как правильно выполнять эти же операции с дробями.

Несмотря на то что деление дробей поначалу кажется довольно тяжелым делом, в действительности работать с ними не так уж и трудно. Деление дроби выполняется практически так же, как и умножение, но с одним отличием.

Для того чтобы разделить дробь, следует сначала умножить числитель делимого на знаменатель делителя и зафиксировать полученный результат в виде числителя частного. Затем умножить знаменатель делимого на числитель делителя и записать результат как знаменатель частного.

Можно сделать и проще. Переписать дробь делителя, поменяв местами числитель со знаменателем, а затем перемножить полученные числа.

Например, разделим две дроби: 4/5:3/9. Для начала перевернем делитель, получим 9/3. Теперь перемножим дроби: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Как видите, все довольно легко и не сложнее, чем деление на однозначное число. Примеры на решаются просто, если не забывать данное правило.

Выводы

Деление - одна из математических операций, которые каждый ребенок изучает еще в начальной школе. Есть определенные правила, которые следует знать, приемы, облегчающие выполнение данной операции. Деление бывает с остатком и без, бывает деление отрицательных и дробных чисел.

Запомнить особенности данной математической операции довольно легко. Мы с вами разобрали наиболее важные моменты, рассмотрели не один пример деления числа на число, даже поговорили о том, как работать с дробными числами.

Если вы хотите улучшить свое знание математики, советуем вам запомнить эти несложные правила. Кроме того, можем посоветовать вам развивать память и навыки счета в уме, выполняя математические диктанты или просто пытаясь высчитать устно частное двух случайных чисел. Поверьте, эти навыки никогда не будут лишними.

Содержимое:

На первый взгляд разделить целое число на десятичную дробь довольно трудно. В конце концов, никто не знает таблицу умножения на десятичные дроби, например, на 0,7. Секрет заключается в том, что нужно переписать задачу на деление так, чтобы в ней остались только целые числа – в этом случае вам останется разделить два числа в столбик.

Шаги

Часть 1 Перепишите задачу в другой форме

1. 1 Запишите задачу на деление. Если вы хотите вносить изменения, воспользуйтесь карандашом.
   • Например, решите задачу: 3 ÷ 1,2.
2. 2 Превратите целое число в десятичную дробь. Для этого после числа поставьте десятичную запятую, а затем напишите столько нулей, чтобы количество знаков после запятой у обеих дробей было равным. Имейте в виду, что нули, приписанные к целому числу после десятичной запятой, не меняют значения этого числа.
   • В нашем примере целым числом является число 3. Так как в десятичной дроби 1,2 после запятой стоит один знак, то перепишите 3 в виде 3,0, то есть припишите к 3 один нуль. Теперь исходная задача имеет вид: 3,0 ÷ 1,2.
   • Внимание: не приписывайте нули без десятичной запятой! Помните, что 3 = 3,0 = 3,00, но 3 ≠ 30 ≠ 300.
3. 3 Переместите десятичную запятую вправо так, чтобы десятичные дроби превратились в целые числа. В задачах на деление вы можете перемещать десятичную запятую каждой десятичной дроби, но только на одинаковое количество позиций после запятой. Это позволит вам преобразовать десятичные дроби в целые числа.
   • В нашем примере преобразуйте десятичные дроби 3,0 и 1,2 в целые числа, переместив десятичную запятую на одну позицию вправо. Таким образом, 3,0 превратится в 30, а 1,2 в 12. Теперь задача имеет вид: 30 ÷ 12.
4. 4 Перепишите задачу в виде деления в столбик. Для этого запишите делимое (как правило, это большее число) слева, а делитель (число, на которое делят) справа. Вы получите задачу на деление в столбик с целыми числами. Если вы не помните, как делить в столбик, перейдите в следующий раздел.

Часть 2 Деление в столбик

1. 1 Найдите первую цифру частного (результата деления). Для этого разделите первую цифру делимого на делитель. Результат напишите под делителем.
   • В нашем примере первой цифрой делимого является цифра 3. Разделите 3 на 12. Так 3 меньше 12, то результатом деления будет 0. Запишите 0 под делителем – это первая цифра частного.
2. 2 Умножьте полученный результат на делитель. Напишите результат умножения под первой цифрой делимого, так как эту цифру вы только что разделили на делитель.
   • В нашем примере 0 × 12 = 0, поэтому напишите 0 под 3.
3. 3 Вычтите результат умножения из первой цифры делимого. Запишите ответ на новой строке.
   • В нашем примере: 3 - 0 = 3. Напишите 3 непосредственно под 0.
4. 4 Спустите вниз вторую цифру делимого. Для этого запишите следующую цифру делимого рядом с результатом вычитания.
   • В нашем примере делимым является число 30. Вторая цифра делимого – это 0. Спустите ее вниз, записав 0 возле 3 (результат вычитания). Вы получите число 30.
5. 5 Полученный результат разделите на делитель. Вы найдете вторую цифру частного. Для этого разделите число, расположенное на самой нижней строке, на делитель.
   • В нашем примере разделите 30 на 12. 30 ÷ 12 = 2 плюс некоторый остаток (так как 12 х 2 = 24). Напишите 2 после 0 под делителем – это вторая цифра частного.
   • Если вы не можете найти подходящую цифру, перебирайте цифры до тех пор, пока результат умножения какой-либо цифры на делитель не окажется меньше и ближе всего к числу, расположенное последним в столбике. В нашем примере рассмотрим цифру 3. Умножьте ее на делитель: 12 х 3 = 36. Так как 36 больше 30, то цифра 3 не подходит. Теперь рассмотрим цифру 2. 12 х 2 = 24. 24 меньше 30, поэтому цифра 2 является верным решением.
6. 6 Повторите описанные выше шаги, чтобы найти следующую цифру. Описанный алгоритм используется в любой задаче на деление в столбик.
   • Умножьте вторую цифру частного на делитель: 2 х 12 = 24.
   • Напишите результат умножения (24) под последним числом в столбике (30).
   • Вычтите меньшее число из большего. В нашем примере: 30 - 24 = 6. Запишите полученный результат (6) на новой строке.
7. 7 Если в делимом остались цифры, которые можно спустить вниз, продолжите процесс вычисления. В противном случае перейдите к следующему шагу.
   • В нашем примере вы спустили вниз последнюю цифру делимого (0). Поэтому переходите к следующему шагу.
8. 8 В случае необходимости воспользуйтесь десятичной запятой, чтобы расширить делимое. Если делимое делится на делитель нацело, то на последней строке вы получите цифру 0. Это означает, что задача решена, а ответ (в виде целого числа) записан под делителем. Но если в самом низу столбика находится любая цифра, отличная от 0, необходимо расширить делимое, поставив десятичную запятую и приписав 0. Напомним, что это не меняет значения делимого.
   • В нашем примере на последней строке находится цифра 6. Поэтому справа от 30 (делимое) напишите десятичную запятую, а затем напишите 0. Также десятичную запятую поставьте после найденных цифр частного, которые вы записываете под делителем (после этой запятой пока ничего не пишите!).
9. 9 Повторите описанные действия, чтобы найти следующую цифру. Главное не забудьте поставить десятичную запятую как после делимого, так и после найденных цифр частного. В остальном процесс аналогичен процессу, описанному выше.
   • В нашем примере спустите вниз 0 (который вы написали после десятичной запятой). Вы получите число 60. Теперь разделите это число на делитель: 60 ÷ 12 = 5. Напишите 5 после 2 (и после десятичной запятой) под делителем. Это третья цифра частного. Таким образом, окончательный ответ: 2,5 (нулем перед 2 можно пренебречь).

• Решая задачу на деление, вы можете написать ответ с остатком (в нашем примере: 3 ÷ 1.2 = 2 ост. 6). Однако, работая с десятичными дробями, преподаватель, скорее всего, ждет, что вы представите ответ в виде десятичной дроби.
• Если вы правильно делите в столбик, в качестве ответа вы получите либо целое число (когда числа делятся нацело), либо десятичную дробь. Не пытайтесь угадать положение десятичной запятой в ответе – оно может отличаться от ее положения в делимом или в делителе.
• Существуют задачи, когда делить в столбик можно бесконечно долго. В этом случае остановитесь и округлите ответ. Например, 17 ÷ 4,20 = 4,047619... В этом случае округлите результат до 4,05.
• Запомните терминологию:
  • Делимое – число, которое делят.
  • Делитель – число, на которое делят.
  • Частное – результат деления.
  • Делимое ÷ Делитель = Частное.

Внимание

• Помните, что результат деления 30 ÷ 12 равен результату деления 3 ÷ 1.2. Не пытайтесь корректировать ответ, перемещая десятичную запятую.

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием « : » или знаком ÷ . Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a: b . Результат записывается после знака равно « = ». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a: b = c . Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел a и b с частным, равным с, можно представить обратным действием деления с на b с частным равным а. Если произведение чисел 5 и - 7 равна - 35 , отсюда имеем, что частное (− 35) : 5 равняется - 7 , а (− 35) : (− 7) с результатом 5 .

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель и произведение. Равенство 6 · (− 7) = − 42 говорит о том, что результаты (− 42) : 6 и (− 42) : (− 7) равняются - 7 и 6 соответственно. При известном произведении 45 , а одного из множителей - 5 , то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8 .

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80 + 24 ,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104: 8 = (80 + 24) : 8 = 80: 8 + 24: 8 = 10 + 3 = 13 .

Ответ: 104: 8 = 13 .

Пример 2

Найти частное от деления 308 716: 452 .

Решение

Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:

Ответ: 308 716: 452 = 683 .

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b , то искомое частное получится равным с. Форма записи: a: b = c . После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b · c = a справедливо. Значит, b · c = a . Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b · c = b · c , значит, и b · c = a . Отсюда получаем, что c = a: b . Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b · c = a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b · c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления:чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a: b = a: b , при а и b равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить - 92 на - 4 .

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что - 92: - 4 = - 92: - 4 = 92: 4 = 23

Ответ: (− 92) : (− 4) = 23 .

Пример 4

Вычислить - 512: (- 32) .

Решение

Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.

Ответ: (− 512) : (− 32) = 16 .

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с. Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c = a: b .

Чтобы определить смысл деления равенства b · c = a , необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить « - ». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a: b = - a: b .

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на - 4 .

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56: 4 = 14 . Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие « - » перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, - 14 .

Ответ: 56: (− 4) = − 14 .

Пример 5

Выполнить деление - 1625 на 25 .

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило

1625: 25 = - - 1625: 25 = - 1625: 25 = - 65

Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500 + 125 , применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: (− 1 625) : 25 = − 65 .

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0: b = 0 , где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b · c = 0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с = 0 . Отсюда следует, что частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0: 4 или 0: - 908 . Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0 .

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c · 0 = a . Правило умножения на нуль говорит о том, что c · 0 = 0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c · 0 = a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c · 0 = 0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на - 9 равен - 7 . Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (− 7) · (− 9) = 63 . Проверка показала, что 63 отлично от 72 , значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter