Аддитивная погрешность пример. Систематические погрешности

1. По способу выражения погрешности делятся:

На абсолютные;

Относительные;

Приведённые.

Абсолютную погрешность определяют как разность между измеренным и действительным значениями измеряемой величины (формула 4):

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.

Показателем точности абсолютная погрешность служить не может, так как она независима от измеряемой величины. Например, погрешность измерения = 0,5 мм при измерении длины = 100 мм соответствует достаточно высокой точности измерений, а при = 1 мм – низкой.

Относительная погрешность представляется как отношение абсо­лютной погрешности к действительному значению измеряемой величины. Относительную погрешность находят из отношения (5):

(5)

Относительная погрешность является более точной характеристикой и наиболее информативной, так как даёт возможность сопоставлять результаты и оценивать качество измерений, выполненных в разное время, различными средствами или операторами.

Однако относительная погрешность измерения не может быть использована для нормирования погрешности средств измерений, поскольку при приближении измеряемой величины к нулю незначительные её изменения приводят к громадным изменениям .

Для исключения указанного недостатка вводится понятие приведённой погрешности.

Приведенная погрешность – это отношение значения абсолютной погрешности к постоянному нормирующему значению (формула 6):

(6)

За нормирующее значение принимают либо верхний предел односторонней шкалы средства измерений либо диапазон измерений

2. По характеру зависимости от измеряемой величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.

Аддитивной погрешностью (погрешность нуля) называется погрешность средства измерений, остающаяся постоянной во всём диапазоне измерений, т.е. аддитивная погрешность не зависит от значения измеряемой величины.

Аддитивной, например, является погрешность, вызванная неточной установкой нуля у стрелочного прибора с равномерной шкалой.

Мультипликативной погрешностью (погрешность чувствительности) называется погрешность средства измерений, возрастающая или убывающая с ростом измеряемой величины, т.е. мультипликативная погрешность изменяется пропорционально измеряемой величине.

Мультипликативной, например, является погрешность измерения отрезков времени отстающими или спешащими часами. Эта погрешность будет возрастать по абсолютной величине до тех пор, пока владелец часов не выставит их правильно по сигналам точного времени.

3. По характеру проявления погрешности делятся на систематические, случайные и грубые (промахи).

В общем случае погрешность результата измерения включает систематическую и случайную составляющие (формула 7):

где – систематическая составляющая общей погрешности, – случайная составляющая общей погрешности (грубая погрешность входит в состав случайной составляющей).

Систематической погрешностью измерения называется составляющая погрешности результата измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях остаётся постоянной или закономерно изменяется, обычно прогрессируя.

Систематические погрешности могут вызываться недостаточно точным исполнением принятого принципа и метода измерений, конструктивными недостатками средства измерений.

К систематическим постоянным погрешностям (остающимся постоянными при повторных измерениях) можно отнести погрешность, вызванную температурной деформацией измеряемой детали, и погрешность средства измерений при отклонении температуры от нормальных условий.

Примером систематической прогрессирующей погрешности (закономерно изменяющейся при повторных измерениях), является погрешность, вызванная износом измерительного наконечника средства измерений при контактных измерениях.

Отличительной особенностью систематических погрешностей является предсказуемость их поведения. Так как они искажают результат измерения, их нужно устранять путём введения поправок или юстировкой прибора с доведением систематических погрешностей до допустимого минимума.

Поправка – это значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности. Путём введения поправки исключают, как правило, систематическую постоянную погрешность средств измерений.

При введении поправки уравнение измерения будет иметь вид (формула 8):

где – показание средства измерений; – значение измеряемой величины; – систематическая погрешность измерения; – поправка.

Поправка численно равна значению систематической погрешности и противоположна ей по знаку .

Полученное при измерении значение величины и уточнённое путём введения в него необходимых поправок на действие систематических погрешностей называют исправленным результатом измерения.

Систематические погрешности в случае, когда они известны и значения их в виде поправок указаны в нормативно-технической документации (паспорте) на средство измерений, должны учитываться в каждом из результатов измерений.

Систематические постоянные погрешности также могут быть выявлены (обнаружены) путём сравнения результатов измерений с другими, полученными более точными методами и средствами.

В ряде случаев удаётся избавиться от систематических погрешностей полностью или частично в процессе измерения даже тогда, когда они неизвестны ни по величине, ни по знаку. Например, при компенсации по знаку измерение организуют таким образом, чтобы систематическая погрешность вошла один раз с одним знаком, а другой раз – с противоположным. Далее берут среднее арифметическое двух результатов – при этом систематическая погрешность исключается.

Случайной погрешностью измерения называется составляющая погрешности результата измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях изменяется непредвиденно, случайным образом.

Причин, вызывающих случайные погрешности, множество, например перекосы элементов прибора, колебания температуры окружающей среды, округления показаний прибора, изменение внимания оператора и др.

В проявлении этих погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов.

Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результата измерения путём введения поправок, однако их можно существенно уменьшить путём увеличения числа единичных измерений. Это даёт возможность, используя методы теории вероятностей и математической статистики, уточнить результат, т.е. приблизить значение измеряемой величины к истинному.

К случайной погрешности результата измерения относится также промах или грубая погрешность.

Промахом (грубой погрешностью) называется погрешность результата измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Промахи, как правило, возникают из-за ошибок или неправильного действия оператора, неверного отсчёта показаний прибора, резких кратковременных изменений условий при проведении измерений и др. Момент возникновения промахов для экспериментатора случаен и неизвестен. При многократных измерениях совокупность полученных результатов может содержать несколько результатов, имеющих в своём составе грубые погрешности.

Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасываются как недостоверные. Как правило, выявление промахов производится на основании анализа результатов измерений с помощью различных вероятностных критериев.

Разделение погрешностей на систематические и случайные имеет большое значение при разработке методов уменьшения погрешностей, но не всегда легко осуществимо. Иногда в зависимости от способа выполнения одного и того же измерения погрешность результата может быть как систематической, так и случайной.

4. По источнику возникновения погрешности делятся на методические, субъективные и инструментальные.

Методическая погрешность (погрешность метода измерения) – это составляющая погрешности измерения, обусловленная недостатками теории или метода измерений.

Эта погрешность возникает вследствие: допущенных упрощений при проведении измерений, из-за неточности передачи размера величины от объекта к средству измерений, погрешности обработки данных и др.

К методическим относятся также составляющие погрешности, обусловленные ограниченной точностью формул, используемых для нахождения результата измерения, и несовершенством приёмов, с помощью которых реализуют принцип измерений. Примером такой погрешности является косвенное измерение электрического сопротивления на основе закона Ома (с помощью амперметра и вольтметра). В зависимости от подключения приборов показания того или другого содержат систематические погрешности, что обусловливает погрешность результата.

В большинстве случаев методические погрешности носят систематический характер, однако возможно и случайное их проявление. Например, если уравнения метода измерений включают в себя коэффициенты, зависящие от условий измерений, которые меняются случайным образом.

Главной особенностью методических погрешностей является то обстоятельство, что они не могут быть указаны в паспорте прибора, а должны оцениваться самим экспериментатором, т.е. методические погрешности не зависят от качества изготовления средства измерений.

Субъективная погрешность (погрешность отсчёта, личная погрешность) – это составляющая погрешности измерения, зависящая от оператора.

Эта погрешность обусловлена индивидуальными особенностями оператора (невнимательность, недостаток или отсутствие квалификации), влиянием теплоизлучения оператора на средство измерений.

Такая погрешность проявляется в тех случаях, когда считывание показаний и фиксирование (регистрация) результатов наблюдений осуществляются либо оператором, либо автоматически; главная их причина – неточность, округление отсчётов.

Субъективные погрешности не могут быть указаны в паспорте на средство измерений. Поэтому для того чтобы их избежать, необходимо соблюдать правила эксплуатации средств измерений, повышать навыки работы с измерительной техникой и совершенствовать отсчётные устройства.

Инструментальная погрешность (приборная, аппаратурная) – это составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.

Эта погрешность определяется несовершенством средства измерений, конструктивными и технологическими ограничениями, влиянием внешних условий.

Инструментальная погрешность включает в себя погрешность средства измерений и погрешность взаимодействия средства измерений с объектом.

Погрешность взаимодействия средства измерений с объектом возникает из-за того, что передача информации всегда связана с отбором какой-то энергии от объекта. Взаимодействие средства измерений с объектом может быть различным по физической природе: механическим, электрическим, тепловым и т.д. Однако в любом случае оно связано с энергетическим обменом между объектом и средством измерений, происходящим во времени и пространстве.

К инструментальным погрешностям обычно относят также помехи на входе средства измерений, вызываемые его подключением к объекту измерений. Например, при включении измерительного прибора в электрическую цепь изменяется режим работы данной цепи.

Необходимо различать погрешность средства измерений и погрешность измерения. Погрешность средства измерений является лишь частью погрешности измерений.

5. По условиям применения средства измерений погрешности делятся на основные и дополнительные.

Основная погрешность – погрешность средства измерений в нормальных (лабораторных) условиях применения, обусловленная свойствами средства измерений.

Эти условия устанавливаются нормативно-техническими документами на виды средств измерений или отдельные их типы. Установление условий применения и особенно нормальных условий является весьма важным для обеспечения единообразия метрологических характеристик средств измерений.

Основная погрешность может включать погрешность вариации , проявляющуюся в разности показаний средства измерений в одной и той же точке диапазона измерений при разных направлениях подхода к этой точке; погрешность градуировки , обусловленную погрешностями образцовых средств, использованных в процессе градуирования средства измерений; погрешность квантования – операцию округления в цифровых измерительных приборах.

Дополнительная погрешность – составляющая погрешности средства измерений, возникающая дополнительно к основной погрешности вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального её значения или вследствие её выхода за пределы нормальной области значений.

Например, в эксплуатационных условиях при установке средства измерений на самолёте, ему придётся работать при изменении температуры окружающей среды в диапазоне ±50 °С, давления от 10 2 Па до 10 4 МПа, напряжения питания на 20 %, что вызовёт погрешности, значительно превышающие основную.

Основная и дополнительная погрешности определяются в статическом режиме, поэтому они относятся к статическим погрешностям, которые будут рассмотрены в следующем пункте.

6. По условиям изменения измеряемой величины погрешности делятся на статические и динамические.

Любое средство измерений обладает статической характеристикой, т.е. характеристикой, функционально связывающей выходную величину Y c входной величиной X. Обычно статическая характеристика является линейной. При отсутствии погрешностей для нее справедливо соотношение

,

где Y н – номинальная статическая характеристика средства измерения; S н – номинальная чувствительность средства измерения.

Наличие погрешности средства измерения вызывает изменение чувствительности (S н +DS ), а также смещение результата измерения на величину D а, т.е.

Y = (S н +DS ) × X + D а.

Погрешность DY результата измерений при этом определится как

DY = Y – Y н = DS × X+ D а.

Первая составляющая погрешности является мультипликативной (D м = DS × X ), а вторая – аддитивной (D а = D а).

Дадим определение аддитив-ной и мультипликативной погреш-ностям.

Аддитивной называется погрешность абсолютное значение которой неизменно во всем диапазоне измеряемой величины.

Систематическая аддитивная погрешность смещает номинальную характеристику параллельно вверх или вниз на величину ±D а (рис. 5.2).

Примером систематической аддитивной погрешности может служить погрешность от неточной установки прибора на нуль, от контактной э.д.с. в цепи постоянного тока. Аддитивную погрешность еще называют погрешностью нуля.

Мультипликативной называют погрешность абсолютное значение которой изменяется пропорционально измеряемой величине.

При систематической мульти-пликативной погрешности реальная характеристика отклоняется от но-минальной вверх или вниз (рис.5.3).

Примерами систематических мультипликативных погрешностей являются погрешности из-за изменения коэффициента деления делителя напряжения, из-за изменения жесткости пружины измерительного механизма и т.п. Мультипликативную погрешность еще называют погрешностью чувствительности.

В средствах измерения аддитивные и мультипликативные погрешности, как правило, присутствуют одновременно. В этом случае результирующая погрешность определяется суммой аддитивной и мультипликативной погрешностей D = D а +D м = D а + d м × Х , где d м – относительная мультипликативная погрешность. В зависимости от соотношений аддитивной (D а) и мультипликативной (D м) погрешностей классы точности средств измерений обозначаются по-разному. Можно выделить три характерных случая соотношения этих погрешностей 1) D а = 0, D м ¹ 0; 2) D а ¹ 0, D м = 0; 3) D а @ D м.

По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности (рис. 3.1):

• · аддитивные, не зависящие от измеряемой величины;
• · мультипликативные, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;
• · нелинейные, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитивные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.

Примеры аддитивных погрешностей -- от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

Данные разновидности погрешностей иногда называют также так:

аддитивные---- погрешность нуля;

мультипликативные-----погрешность крутизны характеристики;

нелинейные--------- погрешность нелинейности.

Рис. 3.1.

В связи с тем, что аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности характерны для средства измерения, причём в диапазоне измеряемых величин, то исходя из заданного истинного (действительного) значения линейного размера элемента конструкции (17м), допустим, что использованное средство измерений, позволяет производить измерения в диапазоне от 1 м до 100 м, причём обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы. Исходя из выбранного диапазона измерений средства измерений (1м - 100м), возьмём из него, например, 10 равноудалённых фиксированных (эталонных) значений линейного размера элемента конструкции, включая заданное истинное (действительное) значение, равное 17 метра. В результате ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров, использованным средством измерения, будет иметь вид: 7; 17; 27; 37; 47; 57; 67; 77; 87; 97 (м).

Используя выражение (2.5), можно определить значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда, а именно:

Рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда, с учётом выполнения правил округления результатов измерений и погрешностей измерений (приведены в Приложении 1), представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Результаты расчетов суммарной, аддитивной и мультипликативной абсолютных погрешностей

№ члена ряда

Используя результаты расчётов суммарной абсолютной погрешности и ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров, строится график (см. Рис.3.2) зависимости, при этом апроксимируются точки по которым он строится. На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона измерения средства измерения (Lэн = 1 м и Lэк =100 м) и максимального значения суммарной погрешности Д с (Д ск = - 11,5 м).

На полученном графике (Рис.3.2) выделяется аддитивная составляющая (Д а) суммарной абсолютной погрешности (Д с), которая равна суммарной абсолютной погрешности при минимальном (начальном) значении эталонных значений линейных размеров (в начале диапазона измерений СИ), т.е. Д а = - 0,89 м.

Строится график (Рис.3.3) зависимости абсолютной аддитивной погрешности Д а = f(L ЭТ.i), который представляет собой прямую параллельную оси абсцисс, проходящей из точки с ординатой Д а = -0,89 м.

Рис.3.2.

Рис.3.3.

На полученном графике (см.Рис.3.2) зависимости, выделяется график мультипликативной составляющей Д м = f(L ЭТ), который идёт параллельно графику суммарной абсолютной погрешности, но начинается не из точки с координатами (7; 0,89), а из точки с координатами (7; 0), т.к. , то и На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона изменения линейного размера L ЭТ (Lэн = 7 м и Lэк = 97 м) и максимального значения мультипликативной погрешности Д м (Д мк = 11,5 м). Результаты расчета абсолютной мультипликативной погрешности приведены в таблице 3.1, а график на рисунке 3.4.

Исходя из того, что использованное средство измерения обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью -12,7%, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы и использовалось для выделения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей измерений в данном разделе работы, то графиком этой погрешности будет горизонтальная прямая с ординатой -10,0% для всего диапазона изменения линейного размера L ЭТ.

Рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности () для каждого измерения средством измерения, используя полученное значение

Д а = -0,89 м и зависимость вида:

Результаты расчётов относительных аддитивных составляющих погрешностей () представлены в таблице 3.2, а график на Рис.3.5.

Рис.3.4.

Таблица 3.2.

Результаты расчётов относительных составляющих погрешностей измерений.

№ члена ряда

Рис.3.5.

Используя результаты расчётов абсолютной мультипликативной составляющей погрешности, которые приведены в таблице 3.1, рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности () для каждого измерения средством измерения, используя зависимость вида:

Результаты расчётов относительных мультипликативных составляющих погрешностей () представлены в таблице 3.2, а график на Рис.3.6.

Погрешность преобразователей является следствием несовершенства их конструкции и технологии изготов­ления. Поэтому она определяется совокупностью частных составляющих погрешности или, как принято говорить, совокуп­ностью частных погрешностей. Наличие погрешности у преобразователя (а она всегда есть) проявляется в том, что реальная характеристика преобразователя отличается от номинальной, является неоднозначной и из линии превращается в полосу неопределенности.

Частные погрешности можно классифицировать по различным признакам:

1) по характеру влияния на уравнение преобразователя;

2) по характеру проявления: систематические и случайные;

3) по причине возникновения;

4) по зависимости от скорости изменения измеряемой величины: статические и динамические.

По характеру влияния на уравнение преобразователя погрешности подразделяются на аддитивные и мультипликативные .

Аддитивная погрешность (от лат. additio - прибавление) проявляется в смещении нулевого или условно нулевого положения. Это смещение не зависит от значения измеряемой величины и объясняется наличием внешних помех, шумов, трения, порога чувствительности. К числу аддитивных можно отнести и погрешность дискретности (квантования), хотя это и не погрешность нуля. С учетом аддитивной погрешности уравнение (2.161) преобразователя принимает вид

Y= S н Х +∆ у .а. . (2.165)

где ∆ у .а - аддитивная погрешность, приведенная к выходу.

Аддитивная погрешность может иметь как систематический, так и случайный характер. На рис. 2.22,а показаны номинальная и реальная характеристики преобразователя для случая систематической аддитивной погрешности, а на рис. 2.22,б - полоса неопределенности, в которую превращается номинальная характеристика преобразователя, если аддитивная погрешность носит случайный характер.

Рис. 2.22. Характеристики преобразователем при наличии аддитивной

погрешности систематического (а ) и случайного (б) характеров.

Систематическая составляющая аддитивной погрешности должна быть скорректирована перед началом измерения, а случайная может быть учтена по законам случай­ных ошибок. Перечисленные выше аддитивные погрешности являются случайными с отличным от нуля математическим ожиданием.

Мультипликативная погрешность - это погреш­ность чувствительности (от англ. multiplier - множитель, коэф­фициент), т. е. это погрешность, вызванная непостоянством чув­ствительности в диапазоне измерения вследствие несовершен­ства технологии изготовления преобразователя, а также вслед­ствие воздействия внешних факторов.

Если непостоянство чувствительности по шкале обозначить через ∆S , то относительное изменение ее (по отношению к номи­нальному значению чувствительности S Н, ее математическому ожиданию) и является относительной мультипликативной погрешностью. Действительно,

где т у = Y 0 - математическое ожидание Y , его действительное значение; ∆ у ,м - абсолютная погрешность преобразования.

т. е. равна относительному изменению чувствительности. Из (2.166) следует, что абсолютная мультипликативная погреш­ность пропорциональна измеряемой величине:

Здесь и ранее - это погрешности преобразователя, приведенные к выходу. Погрешности, приведенные к входу, в S Н раз меньше.

Рис. 2.23. Мультипликативные систематические погрешности (а )

и характеристики преобразователей (б ).

Мультипликативная погрешность также может иметь систематическую и случайную составляющие. На рис. 2.23, а изображены кривые абсолютной и относительной систематической мультипликативной погрешностей для γ m 1 =const, а на рис. 2.23,б номинальная и реальная характеристики преобразователя для γ m 1 . Если непостоянство чувствительности по шкале носит случайный характер, как это показано на рис. 2.24, а, и характеризуется среднеквадратичным отклонением ±σ м, то

∆ у ,м =±z σ м Y 0 . (2.169)

Рис. 2.24. Чувствительность (а ) и характеристика преобразователя (б) при случайной мультипликативной погрешности.

На рис. 2.24,б изображена номинальная характеристика пре­образователя и зона неопределенности, определяющая положе­ние (случайное) реальной характеристики.

Полная абсолютная погрешность преобразователя, приведен­ная к выходу,

∆ у =∆ у, a +γ м Y 0 . (2.170)

а приведенная к входу

∆ x =∆ x , a +γ м X. (2.171)

Относительная погрешность преобразователя

В дальнейшем индексы у и х у погрешностей будем опускать.

Из (2.172) видно, что при малых значениях измеряемой вели­чины относительная аддитивная составляющая погрешности может принимать очень большие значения. На рис. 2.25 изобра­жены номинальная характеристика и полоса неопределенности, определяющая реальную характеристику, при наличии у преоб­разователя обеих составляющих погрешности.

Рис. 2.25. Номинальная характе­ристика и полоса неопределенности реальной характеристики преобра­зователя при наличии аддитивной и

мультипликативной погреш­ностей.

Погрешность, вызванная нелинейностью, возникает в том случае, когда за характеристику преобразователя, имеющего принципиально нелинейную характеристику, принимается линейная. В зависимости от способа линеаризации эта погрешность может иметь только мультипликативную или только аддитивную составляющие. Действительно, при линеаризации по касательной (рис. 2. 26, а ) и по хорде (рис. 2.26,б ) ошибка должна расцениваться как мультипликативная, имеющая систематический характер. При линеаризации, на­пример, по методу Чебышева погрешность является аддитив­ной (рис. 2.26, в).

Рис. 2.26. Влияние способа аппроксимации нелинейной характеристики на характер и величину погрешности.

(Пояснения в тексте).

В этом случае она характеризуется зоной, определяемой положениями касатель­ной и хорды, поэтому удобнее и правильнее считать частную погрешность от нелинейности при таком способе линеаризации слу­чайной величиной.

Для многих преобразователей характерно явление гистерезиса, вызывающее вариацию значений выходного параметра. Это - упругий гистерезис мембран, магнитный гистерезис ферромагнитных материалов и т. д. Замена реальной гистерезисной характеристики идеальной приводит к случайной мультипликативной ошибке.

Разделение погрешностей на мультипликативные и аддитивные очень существенно при решении вопроса о нормировании погрешностей измерительных устройств, о выборе метода оптимальной обработки получаемой информации о значении измеряемой величины.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины

В зависимости от вида функции преобразования прибора (преобразователя) его общая погрешность и ее составляющие различным образом зависят от значения измеряемой величины. Рассмотрим эти зависимости при разных функциях преобразования.

1. Зависимость Д(X ) и у(X ) при линейной функции Y = SX (Аддитивная и мультипликативная погрешности. Порог чувствительности)

Как уже отмечалось, функция преобразования вида присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора (в единицах выходной величины) может возникать:

– во-первых, за счет аддитивного наложения на входную измеряемую величину некоторой малой неконтролируемой величины (например, шумы или наводки);

– во-вторых, из-за наличия аналогичной величины на выходе прибора -- например, в случае дискретного характера (квантования) выходного сигнала (входной сигнал обычно имеет неправильный (аналоговый) характер);

– в третьих, за счет малых неконтролируемых изменений (нестабильности) чувствительности

Причем, . С учетом этих факторов значение на выходе, очевидно, будет отличаться от теоретического значения на величину:

(В (1) слагаемым, имеющим более высокий порядок малости, пренебрегли). Из (1) следует, что результат измерения величины может быть представлен в виде

Здесь -- абсолютная погрешность измерения, выраженная, как и полагается, в единицах, и состоящая из двух слагаемых: первое из них называется аддитивной погрешностью (от add - прибавлять) поскольку она, как видим, суммируется с и не зависит от него. Второе слагаемое называется мультипликативной погрешностью (от multiply - умножать), так как оно определяется умножением измеряемого значения на относительную погрешность чувствительности

Таким образом, в случае линейной функции преобразования абсолютная погрешность измерения

Размещено на http://www.allbest.ru/

в общем случае состоит из суммы аддитивной и мультипликативной погрешностей. Первая из них не зависит от измеряемой величины, а вторая -- пропорциональна ей (рис 1а). При этом важно отметить, что так ведут себя в зависимости от абсолютные (размерные) значения этих погрешностей.

Поскольку с увеличением возрастает общая погрешность, может показаться, что с ростом измеряемой величины точность измерения будет уменьшаться. Однако, согласно (4) относительная погрешность, характеризующая, как известно, точность измерения, равна

Из следует два важных вывода. Во-первых, при представлении погрешности в относительном (безразмерном) виде, ее мультипликативная составляющая становится равной погрешности чувствительности, которая не зависит от значения измеряемой величины, а аддитивная составляющая оказывается обратно пропорциональной (рис. 1б).

Во-вторых, при линейной функции преобразования точность измерения повышается с увеличением измеряемой величины. Отсюда практическая рекомендация: при линейной функции преобразования в целях повышения точности измерения следует выбирать диапазон измерений так, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины находилось как можно ближе к верхнему приделу шкалы прибора. Из (4), (5) и рис. 1 видно, что при больших значениях измеряемой возрастает вклад мультипликативной составляющей в общую погрешность, и, наоборот, при малых основную часть погрешности составляет аддитивная погрешность.

На практике погрешности измерения конкретным прибором обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или со знаком. Например, в техническом описании серийно выпускаемого цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает значения, которое может быть задано либо в абсолютных значениях:

где первое слагаемое -- аддитивная, а вторая -- мультипликативная погрешность, либо в относительных значениях:

где вначале указана погрешность чувствительности (мультипликативная), а за ней относительная аддитивная составляющая. Разумеется, в конечном экземпляре такого частотомера или при конкретном измерении погрешность может быть меньше указанного предела.

Размещено на http://www.allbest.ru/

С учетом такой неопределенности задания погрешности выходную величину следует считать связанной с входной величиной соотношением, где увеличивается с ростом из-за мультипликативной составляющей. При этом вместо номинальной зависимости в виде прямой линии получается расширяющаяся полоса шириной (рис. 2), характеризующая зону неопределенности измерений, т. е. неопределенности наших знаний о действительном значении.

Поскольку минимальная ширина этой полосы равна, ясно, что значение измеряемой величины прибор не сможет достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является. Это значение, определяемое аддитивной погрешностью, называется порог чувствительности данного прибора.

2. Зависимость погрешности от измеряемой величины при нелинейной функции преобразования вида Y = a / (b + X )

Нетрудно выяснить, что преобразование такого вида выполняется в простейшем омметре со стрелочным указателем -- микроамперметром (рис 3а). Измеряемой величиной является, а выходной -- ток:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из видно, что, во-первых, шкала такого прибора нелинейна, т. е. неравномерна. Во-вторых, входная и выходная величины находятся в обратной зависимости -- большему значению соответствует меньший ток (рис 3б). Начало шкалы прибора, соответствующее должно соответствовать максимальному току указателя, а конец шкалы при должен соответствовать нулю тока. Обычно перед измерением проверяют правильность градуировки шкалы: при разомкнутом входе () убеждаются, что стрелка находится на крайнем левом делении, а при короткозамкнутом входе (и) -- на крайнем правом. При необходимости последнее условие выполняют изменяя.

Считая, что погрешность измерения определяется погрешностью измерения тока, продифференцируем по:

Знак минус в (10) отражает обратную зависимость и. Но поскольку погрешность обычно указывается с двойным знаком, этот минус в дальнейшем не будем учитывать.

Выразим относительную погрешность измерения:

Из (11) видно, что при стремящемся к 0 и к. Это значит, что есть, при котором будет минимальна. Известно, что для нахождения координат минимума зависимости необходимо приравнять нулю производную по:

Откуда следует, что при (рис 3в). Подставив это значение в (11), найдем

где есть приведенная погрешность микроамперметра, характеризующая его класс точности.

Сам по себе стрелочный указатель имеет линейную функцию преобразования (-- угол отклонения стрелки) и, следовательно, равномерную шкалу по току. Отсюда следует, что если, а значит минимальна и, то стрелка будет находиться посредине шкалы (рис 3б). погрешность подчиненность нелинейный квантовый

Итак, во-первых, при рассмотренном виде нелинейного преобразования минимум относительной погрешности находится в середине шкалы. Значит надо соответствующим образом выбирать диапазон шкалы. Во-вторых, из (12) следует, что этот минимум в 4 раза больше приведенной (минимальной) погрешности указателя (см (12)).

Погрешность квантования

Измерительные приборы с дискретной (квантованной) формой выходной величины, к которым относятся цифровые приборы, имеют ступенчато-линейную функцию преобразования. Размер ступени определяется шагом квантования выходной величины. При этом разным значениям непрерывной измеряемой величины соответствуют дискретные значения выходной величины. При этом показания прибора тоже будут дискретны с шагом квантования, где -- чувствительность линейной функции, которая имела бы место при. Отклонение ступенчатой функции преобразования от линейной приводит к появлению погрешности квантования, зависимость которой от измеряемой величины имеет пилообразный вид (рис 5а, б, в).

Из рис. 4 видно, что существует три разновидности квантования выходной величины:

Размещено на http://www.allbest.ru/

В первом случае значение, соответствующее зависимости заменяется дискретным значением, равным ближайшему уровню квантования. Несовпадение и будет определять погрешность квантования. Из рис. 5а видно, что значения погрешности квантования лежат в пределе от до. При этом все значения равновероятны и математическое ожидание такой погрешности равно 0. Из этого следует, что в этом случае погрешность квантования есть чисто случайная погрешность с равномерным распределением.

Во втором случае непрерывные значения заменяются на, соответствующие нижнему ближайшему уровню. Из рис. 5б видно, что погрешность квантования в этом случае лежит в пределе от до 0 и ее математическое ожидание равно. Видим, что в отличие от первого случая при данном способе квантования систематическая составляющая погрешности не равна нулю, а случайная, равномерно распределенная составляющая лежит в прежнем пределе.

В третьем случае отожествляется -- ближайшим верхним уровнем. Из рис. 5в видно, что погрешность квантования находится в интервале, ее систематическая составляющая равна, а случайная составляющая такая же, как и в двух предыдущих случаях.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Расчёт относительной погрешности сопротивления резисторов. Оценка математического ожидания относительной погрешности сопротивлений резисторов, дисперсии относительных погрешностей сопротивлений резисторов, отклонения измеренного значения величины.

контрольная работа , добавлен 29.04.2009


Расчет суммарной инерционной погрешности гирокомпасов. Оценка влияния погрешностей на точность судовождения. Анализ применения магнитного компаса, лага, эхолота в реальных условиях плавания. Рассмотрение возможной величины поперечного смещения судна.

курсовая работа , добавлен 23.01.2016


Определение величины интенсивности отказов изделия. График вероятности безотказной работы. Расчет комплекса одиночного ЗИП. Расчет погрешности: схема функционального узла; параметры элементов. Расчет среднего значения производственной погрешности.

контрольная работа , добавлен 29.11.2010


Принципиальная схема и параметры составных элементов устройства для контроля отклонения от номинального значения неэлектрической величины. Выбор измерительного преобразователя: принцип действия, характеристика, конструктивное исполнение и применение.

курсовая работа , добавлен 12.05.2012


Обзор методов измерения физической величины и их сравнительный анализ. Принцип действия фотоэлектрических преобразователей. Избыточный коэффициент усиления. Источники погрешностей от приемников излучения. Погрешности от нестабильности условий измерений.

курсовая работа , добавлен 06.12.2014


Исследование влияния на ошибки квантования, спектры квантованного сигнала и ошибки выбора величины динамического диапазона. Исследование влияния соотношения частоты сигнала и частоты дискретизации АЦП. Режим усечения и округления результатов квантования.

лабораторная работа , добавлен 17.10.2011


Характеристика преобразователей частоты вращения: оптический, центробежный, индукционный и электрические тахометры постоянного тока. Датчики с переменным магнитным сопротивлением. Расчет функции преобразования, тепловых расширений и погрешностей.

курсовая работа , добавлен 22.04.2009


Разработка импульсно-цифрового преобразователя с частотно-импульсным законом. Расчет и построение графиков зависимостей погрешности дискретизации, погрешности отбрасывания и методической погрешности преобразований от параметра (fи) входного сигнала.

курсовая работа , добавлен 08.12.2011


Изучение передаточной функции линейной части нелинейной системы и расчет критерия устойчивости Гольдфарба. Определение периода квантования по теореме Котельникова. Исследование передаточных функций импульсной системы в разомкнутом и замкнутом состоянии.

курсовая работа , добавлен 16.07.2011


Средства электрических измерений: меры, преобразователи, комплексные установки. Классификация измерительных устройств. Методы и погрешности измерений. Определение цены деления и предельного значения модуля основной и дополнительной погрешности вольтметра.