Сборник тестов по геометрии на тему "Тела вращения" (11 класс). Шаровой слой и сферический пояс Шаровой слой и сферический пояс

а) Проведены два параллельных сечения шара. Докажите, что центр шара лежит на прямой, проходящей через центры этих сечений.
б) В шаре радиуса R проведено сечение радиуса r. Чему равно расстояние между ним и параллельным ему большим кругом?
в) В шаре радиуса 3 проведены два сечения радиусами 1 и 2, плоскости которых параллельны. Вычислите расстояние между ними,
г) Составьте задачи, обратные задачам б) и в).

а) Даны два круга в одном шаре, окружности которых лежат на сфере и имеют единственную общую точку. Докажите, что прямая пересечения плоскостей, в которых лежат эти круги, имеет с шаром единственную общую точку,
б) На сфере проведены две окружности, имеющие единственную общую точку. Докажите, что центр сферы, центры обеих окружностей и их общая точка лежат в одной плоскости,
в) На сфере радиуса R провели два сечения одного радиуса r, имеющие одну общую точку. Их плоскости образуют угол ср. Установите связь между R, r, φ.

III. 3. В шаре радиуса R два сечения радиуса r пересекаются под углом φ. Их пересечением является хорда длиной d. Установите связь между R, r, d, φ.

III. 4. В данную сферу вписаны:

а) цилиндр;
б) конус;
в) усечённый конус.

Их размеры известны. Как найти расстояния от центра сферы до оснований и боковых поверхностей цилиндра, конуса и усечённого конуса?

III. 5. Четыре равных шара радиуса R расположены так, что каждый касается трёх остальных. Три из этих шаров лежат на горизонтальной плоскости, а четвёртый шар лежит над ними. Какова высота этого сооружения? Как найти радиус шара, описанного около этого сооружения.

III. 6. Три цилиндра расположены так, что каждые два имеют единственную общую точку. Эта общая точка находится внутри образующей каждого из цилиндров. Оси цилиндров взаимно перпендикулярны, и одна из них вертикальна. Радиус каждого цилиндра равен R. Найдите радиус шара, который, падая вертикально, пройдёт через зазор, образованный цилиндрами.

III. 7. В шаре радиуса R находится цилиндр с наибольшим по площади осевым сечением. Каковы размеры этого цилиндра?

III. 8. Рассмотрите всевозможные цилиндры с диагональю осевого сечения, равной d. Вычислите радиус наибольшего шара, содержащегося в таком цилиндре, и радиус наименьшего шара, содержащего такой цилиндр.

III. 9. В цилиндре, у которого высота равна диаметру основания и равна d, надо разместить два одинаковых шара. Каков их наибольший радиус?

III. 10. Два равных конуса имеют общую вершину. Их боковые поверхности пересекаются по двум образующим. Докажите, что плоскость, проходящая через эти образующие, перпендикулярна плоскости, содержащей оси конусов.

III.11. Два равных конуса имеют параллельные оси. Имеют ли они общую опорную плоскость, проходящую через образующие их поверхностей?

III.12. Докажите, что окружность является линией пересечения (если такая существует):

а) боковых поверхностей конуса и цилиндра, оси которых лежат на одной прямой);
б) боковых поверхностей двух конусов, оси которых лежат на одной прямой.

III.13. Центр сферы лежит в вершине конуса. Радиус сферы меньше образующей боковой поверхности конуса. Докажите, что сфера пересекает боковую поверхность конуса по окружности.

а) На реальной сфере нарисована окружность. Как вычислить её радиус?
б) Как вычислить радиус реальной сферы (шара)?

Применяем компьютер

III.15. Дана прямая р и отрезок АВ на прямой, параллельной прямой р. Найдите на прямой р такую точку X, чтобы угол АХВ был наибольшим.

III.16. Среди всех равнобедренных треугольников ABC, описанных около данной окружности, касающейся основания АС, найдите треугольник наименьшей площади.

III.17. Найдётся ли на заданной прямой точка, из которой два равных круга видны под равными углами?

III.18. Впишите в данную окружность прямоугольник наибольшей площади.

III.19. Дана окружность с центром О. В ней проведена хорда АВ, отличная от диаметра, и радиус ОС, перпендикулярный этой хорде. Пусть D - точка пересечения этого радиуса и этой хорды. Точка X движется по большей дуге окружности. Из неё проводятся две хорды: ХК, проходящая через точку D, и ХС. Пусть L - точка пересечения хорд ХС и АВ. Какой из отрезков длиннее: KD или LC?

Итоги главы III

В § 16-19 доказаны всего три теоремы:

теорема 17 о пересечении шара с плоскостью (п. 16.2),
теорема 18 о касании сферы и плоскости (п. 16.3) и
теорема 19 о сечении конуса (п. 19.1).

В главе III начато обсуждение важного вопроса о симметрии пространственных фигур.

В § 20 изучены более сложные, чем в курсе основной школы, вопросы геометрии окружности.

1. Прямые a и b параллельны, а прямые a и с пересекаются. Каково взаимное расположение b и с?(сделано)
2. Через три точки, лежащие на трех скрещивающихся ребрах куба, проведена плоскость. Найдите сумму внутренних углов многоугольника, получившегося в сечении.(сделано)
3. Все боковые ребра пирамиды равны 13. Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен 5, а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 12. Найдите высоту пирамиды. дано указание
4. Все двугранные углы при ребрах основания четырехугольной пирамиды равны 45. Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен 8, а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 52. Найдите высоту пирамиды. (сделано)
5. Плоскости трех боковых граней треугольной пирамиды образуют с плоскостью ее основания угол 60. Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен 8, а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 52. Найдите высоту пирамиды.(сделано)
6. Расстояние между центрами двух сфер радиусов 4 и 7 равно 2. Опишите множество общих точек этих сфер. (сделано)
7. Две образующие конуса взаимно перпендикулярны. Может ли угол в развертке конуса быть равен 252.(сделано)
8. ABCD – осевое сечение цилиндра. B и С – точки верхнего основания, а A и D – нижнего. Точка К делит дугу AD в отношении AK:KD=1:2. Найдите величину угла AKC.(сделано)
9. Сечение, проходящее через середину бокового ребра пирамиды и параллельное основанию, разбило пирамиду на два тела, объем одного из которых на 6 м^3 меньше, чем другого. Найдите объем пирамиды.(сделано)
10. MABC – тетраэдр. Сколько существует различных плоскостей, от которых все вершины этого тетраэдра удалены на одно и то же расстояние?
11. При каком значении x длина вектора с координатами (1-x;4+x;x) наименьшая? (сделано)
12. Какую часть объема параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 занимает объем тетраэдра A1C1BD? (сделано)
13. Могут ли две плоскости несоседних боковых граней четырехугольной пирамиды быть перпендикулярны к плоскости основания?
14. Расстояние от концов диаметра шара до касающейся его плоскости равны 3 и 7 см. Найдите радиус шара. (сделано)

В 8-ом только смог нарисовать рисунок и вспомнить что угол ACB равен углу BAC как накрест лежащие. Дальше я не знаю, что делать.

В 13 могут по теореме о 3-х перпендикулярах. Да?

В 10-ом может 4. Предполагаю, потому что у тетраэдра 4 грани, но логики не вижу.

В 9-ой получилось 8.

к.черный вы написали так:
я рассуждала так же.
Объем одной такой отсекаемой пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда (1/3*половину основания*ту же высоту)
Сл-но, объем отсекаемой части 4/6 = 2/3
Тогда объем пирамиды A1C1BD составляет 1/3 объема пар-да

Я не могу понятьпочему сначала у вас объемы относятся как 1/6, а затем как 1/3

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении, называются основаниями слоя. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой слоя (рис. 42). Поверхность сферической части шарового слоя называется сферическим поясом .

Шар, шаровой сегмент и шаровой слой можно рассматривать как геометрические тела вращения. При вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга получается шар, соответственно при вращении частей круга получаются части шара: шаровой сегмент и шаровой слой.

Для шарового слоя верны формулы:

где R – радиус шара;

R 1 , R 2 – радиусы оснований;

h – высота;

S 1 , S 2 – площади оснований;

S – площадь сферической части шарового слоя (площадь сферического пояса);

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем шарового слоя.

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше ) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором . Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).

Рис. 43а. Рис. 43б.

Для шарового сектора верны формулы:

где R – радиус шара;

r – радиус основания сегмента;

h - высота шарового сегмента;

S – площадь поверхности шарового сектора;

V – объем шарового сектора.

Пример 1. Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 44).

Для того, чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части:

Тогда площадь

Ответ:

Пример 2. Шар пересечен двумя параллельными плоскостями, проходящими перпендикулярно диаметру и по разные стороны от центра шара. Площади сферических сегментов равны 42p см 2 и 70p см 2 . Найти радиус шара, если расстояние между плоскостями 6 см.

Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями: где R – радиус шара (сферы), h, H – высоты сегментов. Получим уравнения: и Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равен Решив систему, найдем радиус шара.

Û Þ Û

По условию задачи подходит значение

Ответ: 7 см.

Пример 3. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1:2. Во сколько раз площадь сечения меньше площади поверхности шара?

Решение . Сделаем рисунок (рис. 45).

Рассмотрим диаметральное сечение шара: AD – диаметр, O – центр, OE=R – радиус шара, BE – радиус сечения перпендикулярного диаметру шара,

Выразим BE через R :

Из DOBE выразим BE через R :

Площадь сечения площадь поверхности шара Получаем отношение . Значит, S 1 меньше S 2 в 4,5 раза.

Ответ: в 4,5 раза.

Пример 4. В шаре, радиус которого 13 см, проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 4 см и 12 см от центра. Найти длину их общей хорды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 46).

Сечения перпендикулярны, т.к. OO 2 – расстояние и OO 1 – расстояние. Таким образом, и , OC – диагональ прямоугольника OO 2 CO 1 и равна

3.1. Радиус основания конуса равен R , образующая наклонена к плоскости основания под углом  . В конусе через вершину под углом  к его высоте проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

3.2. Площади оснований усеченного конуса равны 81 см 2 и 225 см 2 , образующая относится к высоте как 5: 4. Найдите площадь осевого сечения.

3.3. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны. Площадь осевого сечения равна 324 см 2 . Найдите площади оснований конуса, зная, что радиус одного основания на 2 см больше другого.

3.4. Дана трапеция ABCD , у которой AD = 15 см, BC = 9 см, AB = CD = 5 см. Трапеция вращается вокруг оси, проходящей через вершину A и перпендикулярно AD . Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

3.5. Прямая отсекает от сторон прямоугольного треугольника, угол между которыми 60, отрезки, длины которых составляют четвертую часть длины гипотенузы, считая от вершины этого угла. Найдите отношение площади треугольника к площади поверхности тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг прямой.

3.6. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна h , образующая – b . Найдите площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

3.7. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного из конусов перпендикулярна противолежащей образующей другого. Объем одного из них вдвое меньше объема другого. Найдите угол между образующей большего конуса и плоскостью оснований конусов.

3.8. Треугольник АВС , у которого АВ = 13 см, ВС = 20 см, АС = 21 см, вращается вокруг оси, проходящей через вершину А перпендикулярно АС . Найдите объем полученного тела вращения.

3.9. Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно большей диагонали. Найдите объем тела вращения, если стороны параллелограмма и его большая диагональ равны соответственно 15 см, 37 см и 44 см.

3.10. Образующая усеченного конуса, равная l , наклонена к плоскости основания под углом . Отношение площадей оснований конуса равно 4. Найдите объем усеченного конуса.

12.6. Шар

Шар и сфера

Сферой называется множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки.

Данная точка называется центром сферы. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром называется хорда, проходящая через центр сферы (рис. 12.40).

Шаром называется геометрическое тело, ограниченное сферой. Центр, радиус, хорда и диаметр сферы называются соответственно центром , радиусом , хордой и диаметром шара (рис. 12.40).

Шар можно рассматривать как тело, полученное при вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга.

Сферой также называется поверхность шара.

Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью к сфере (шару). Общая точка называется точкой касания сферы (шара) и плоскости.

Теорема . Для того чтобы плоскость была касательной к сфере (шару), необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы (шара), проведенному в точку касания.

Для шара верны формулы:

где S – площадь поверхности шара (площадь сферы); R – радиус шара; V – объем шара.

Шаровой сегмент и сферический сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг, получившийся в сечении, называется основанием сегмента. Отрезок, соединяющий центр основания сегмента с точкой поверхности шара, перпендикулярный основанию, называется высотой шарового сегмента (рис. 12.41). Поверхность сферической части шарового сегмента называется сферическим сегментом .

Для шарового сегмента верны формулы:

где S – площадь сферической части шарового сегмента (площадь сферического сегмента); R – радиус шара; h – высота сегмента; S полн – площадь полной поверхности шарового сегмента; r – радиус основания шарового сегмента; V – объем шарового сегмента.

Шаровой слой и сферический пояс

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении, называются основаниями слоя. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой слоя (рис. 12.42). Поверхность сферической части шарового слоя называется сферическим поясом .

Шар, шаровой сегмент и шаровой слой можно рассматривать как геометрические тела вращения. При вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга, получается шар, соответственно при вращении частей круга получаются части шара: шаровой сегмент и шаровой слой.

Для шарового слоя верны формулы:

где S 1 , S 2 – площади оснований; R 1 , R 2 – радиусы оснований; S – площадь сферической части шарового слоя (площадь сферического пояса); R – радиус шара; h – высота; S полн – площадь полной поверхности; V – объем шарового слоя.

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше 90) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором . Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 12.43 а, б).

Для шарового сектора верны формулы:

где S – площадь поверхности шарового сектора; R – радиус шара; r – радиус основания сегмента; h – высота шарового сегмента; V – объем шарового сектора.

Пример 1. Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения, перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.44).

Для того чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части:

Тогда площадь

Пример 2. Шар пересечен двумя параллельными плоскостями, проходящими перпендикулярно диаметру и по разные стороны от центра шара. Площади сферических сегментов равны 42 см 2 и 70 см 2 . Найти радиус шара, если расстояние между плоскостями равно 6 см.

Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями:

гдеR – радиус шара (сферы), h , H – высоты сегментов. Получим уравнения:
и
Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равен
Решим систему:

Из двух первых уравнений системы выражаем:

подставляем в третье уравнение системы:
Решаем полученное уравнение:
получаем

По условию задачи подходит значение

Пример 3. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1: 2. Во сколько раз площадь сечения меньше площади поверхности шара?

Решение . Сделаем рисунок (рис. 12.45).

Рассмотрим диаметральное сечение шара: AD – диаметр, O – центр, OE = R – радиус шара, BE – радиус сечения, перпендикулярного диаметру шара,

Выразим BE через R :

Из  OBE выразим BE через R :

Площадь сечения
площадь поверхности шара
Получаем отношение

Следовательно, S 1 меньше S 2 в 4,5 раза.

ГБОУ СПО ПТ 13 имени П.А.Овчинникова

Тесты по теме «Тела вращения»

преподаватель математики Макеева Елена Сергеевна

Т Е С Т 1

Вариант 1

А1 . Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 12π, а высота цилиндра равна 3. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

А2 . Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 см 2 , площадь основания равна 5 см 2

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
А3 . Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое с площадью, равной S . Угол между плоскостями сечений равен 30 о

¤ 1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B 1. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания равен 10 см, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8 см, АВ=13 см. Определите высоту цилиндра.

Ответ:

В2 . Высота цилиндра равна h , радиус основания – r . В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат так, что все его вершины находятся на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата.

Ответ :________________________________________________________________________

С1 . Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра составляет со стороной основания развертки угол β. Вычислите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Ответ:________________________________________________________________________

Т Е С Т 1

Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра.

Вариант 2

А1. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 20π, а высота цилиндра равна 5. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

А2 . Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см 2 , площадь основания равна 8 см 2 . Вычислить высоту и площадь боковой поверхности цилиндра.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) А3. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое с площадью, равной S . Угол между плоскостями сечений равен 45 о . Найдите площадь второго сечения.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B 1. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания равен 5 см, высота цилиндра равна 6 см, АВ=10 см. Определите расстояние между прямой АВ и осью цилиндра.

Ответ: ________________________________________________________________________

В2 . Радиус основания цилиндра равен r . В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат со стороной a так, что все его вершины находятся на окружностях оснований. Найдите высоту цилиндра.

Ответ: ________________________________________________________________________

С1 . Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью его основания равен β. Вычислите угол между диагональю развертки его боковой поверхности и стороной основания развертки.

Ответ: ________________________________________________________________________

Т Е С Т 2

Прямой круговой конус

Вариант 1

А1 . Найдите высоту прямого кругового конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 см 2 , а площадь основания равна 8 см 2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

А2. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной 90 o

¤ 1) 60 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 30 o

А3. Длина окружности оснований усеченного конуса равна 4π и 10π. Высота конуса равна 4. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B 1. Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60 o

Ответ:

В2. Образующая конуса равна 13 см, высота – 12 см. Этот конус пересечен прямой, параллельной основанию. Расстояние ее от основания равно 6 см, а от высоты – 2 см. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1 . Образующая усеченного конуса равна L и составляет с плоскостью основания угол α. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 2

Прямой круговой конус

Вариант 2

А1 . Найдите высоту прямого кругового конуса, если площадь его осевого сечения равна 8 см 2 , а площадь основания равна 12 см 2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

А2 . Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной 120 o

¤ 1) 90 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 60 o

А3 . Длина окружности оснований усеченного конуса равна 4π и 28π. Высота конуса равна 5. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B 1. Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90 o . Определите площадь сечения.

Ответ: ________________________________________________________________________________

В2. Образующая конуса равна 17 см, высота – 8 см. Этот конус пересечен прямой, параллельной основанию. Расстояние ее от основания равно 4 см, а от высоты – 6 см. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1 . Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью нижнего основания угол α. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей конуса. Сумма длин окружностей равна 2 πm. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 3

Вариант 1

А1 . Точки А и В лежат на сфере радиуса R . Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

А2. Найдите координаты центра С и радиуса R сферы, заданной уравнением

¤ 1) C (-3; 2; 0), R= ¤ 2) C (3; -2;0), R=5 ¤ 3) C (-3; 2;0), R=5 ¤ 4) C (3; -2;0), R=

А3. Напишите уравнение сферы с центром в точке С (4; -1; 3), проходящей через точку А(-2; 3;1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Вершины прямоугольного треугольника с катетами 25 и 5 лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра до плоскости треугольника равно 8.

Ответ: ________________________________________________________________________________

B 2 a уравнение

задает сферу.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 12. Известно, что площади этих сечений 100 π и 64 π . Найдите радиус шара.

Ответ: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 3

Сфера и шар. Уравнение сферы.

Вариант 2

А1. Точки А и В лежат на сфере радиуса R . Расстояние от центра сферы до прямой АВ равно a . Найдите длину отрезка АВ.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

А2 . Найдите координаты центра С и радиуса R сферы, заданной уравнением

¤ 1) C (-4; 0; 3), R= ¤ 2) C (4; 0;-3), R=7 ¤ 3) C (-4; 0;3), R=7 ¤ 4) C (4; 0;-3), R=

А3. Напишите уравнение сферы с центром в точке С (-3; 1; -2), проходящей через точку А(3; 4;-1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Вершины прямоугольного треугольника с катетами 15 и лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра до плоскости треугольника равно 5.

Ответ: ________________________________________________________________________________

B 2 . Определите при каких значениях параметра a уравнение

задает сферу.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 12. Известно, что площади этих сечений 256 π и 100 π . Найдите радиус шара.

Ответ: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 4

Вариант 1

А1. Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра на 8, имеет длину 12 π. Найдите площадь поверхности сферы.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

А2. Сфера радиуса R касается граней двугранного угла, величина которого равна α . Определите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

¤ 1) ¤ 2) Rtg ¤ 3) ¤ 4) Rctg

А3. Найдите длину хорды сферы , принадлежащей оси абсцисс.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

В1. Сечение шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144 π и 25 π . Вычислите площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 17.

В2.

Ответ

С1.

Ответ:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 4

Взаимное расположение сферы и плоскости, сферы и прямой.

Вариант 2

А1. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 15, имеет площадь 64 π. Найдите площадь поверхности шара.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

А2. Сфера касается граней двугранного угла, величина которого равна α . Расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно l . Определите радиус сферы.

¤ 1) l tg ¤ 2) l sin ¤ 3) l cos ¤ 4) l ctg

А3. Найдите длину хорды сферы , принадлежащей оси ординат..

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

В1. Сечение шара двумя параллельными плоскостями, которые лежат по одну сторону от центра шара, имеют площади 576 π и 100 π . Вычислите площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 14.

Ответ:________________________________________________________________________________

В2. Напишите уравнение плоскости, в которой лежат общие точки сфер, заданных уравнениями

Ответ:________________________________________________________________________________

С1. Найдите координаты точек пересечения прямой, заданной уравнением и сферы, заданной уравнением

Ответ:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 5

Комбинации фигур вращения.

Вариант 1

А1. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 см и 12 см, вращается вокруг гипотенузы. Вычислите площадь поверхности полученного тела вращения.

¤ 1) см 2 ¤ 2) 82π см 2 ¤ 3) см 2 ¤ 4) 78π см 2

А2. В цилиндр вписан шар. Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

¤ 1) 3:2 ¤ 2) 2:1 ¤ 3) 4:3 ¤ 4) 5:2

А3. r , высота – H

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π( ¤ 4)

B 1 . В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найдите величину угла между осью конуса и его образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как 3:2, а ось цилиндра совпадает с осью конуса.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1 . На плоскости лежат три одинаковых шара радиуса R , касающихся друг друга. Сверху в ямку, образованную шарами, положен четвертый шар того же радиуса. Найдите расстояние от верхней точки четвертого шара до плоскости.

Ответ :________________________________________________________________________________

Т Е С Т 5

Комбинации фигур вращения.

Вариант 2

А1. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 8 см и 15 см, вращается вокруг гипотенузы. Вычислите площадь поверхности полученного тела вращения.

¤ 1) 162π см 2 ¤ 2) см 2 ¤ 3) 164π см 2 ¤ 4) см 2

А2. В цилиндр вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

¤ 1) 2:1 ¤ 2) 3:2 ¤ 3) 1:1 ¤ 4) 2:3

А3. В шар вписан конус, радиус основания которого равен r , высота – L . Определите площадь поверхности шара.

¤ 1) π ( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL

B 1 . В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найдите величину угла между осью конуса и его образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как 8:9, а ось цилиндра совпадает с осью конуса.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1 . На плоскости лежат четыре одинаковых шара радиуса R так, что каждый из шаров касается двух соседних. Сверху в ямку, образованную шарами, положен пятый шар того же радиуса. Найдите расстояние от верхней точки пятого шара до плоскости.

Ответ :________________________________________________________________________________

Т Е С Т 6

Вариант 1

А1. В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Найдите площадь его поверхности, если сторона основания призмы равна 2 , а высота – 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

А2. Вокруг правильной треугольной пирамиды описан конус. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если сторона основания пирамиды равна a , боковые ребра наклонены к основанию под углом 30 o .

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

А3. В правильную четырехугольную призму вписана сфера. Найдите отношение площади полной поверхности призмы к площади сферы.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

В1. a и b . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ:________________________________________________________________________________

В2. В куб с ребром, равным a , вписан шар. Вычислите радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба, имеющих общую вершину.

Ответ:________________________________________________________________________________

С1. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. В этот конус вписана правильная треугольная пирамида. Найдите отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса.

Ответ:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 6

Комбинации многогранников и тел вращения.

Вариант 2

А1. Вокруг правильной треугольной призмы описан цилиндр. Найдите площадь его поверхности, если высота призмы равна 4, а высота основания призмы – 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

А2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a , боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 o . Вычислите площадь боковой поверхности вписанного в пирамиду конуса.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

А3. Вокруг куба описана сфера. Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности куба.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

В1. Около шара описана правильная треугольная усеченная пирамида, стороны оснований которой равны a и b . Найдите площадь поверхности шара.

Ответ:________________________________________________________________________________

В2. В куб вписан шар. Радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба, имеющих общую вершину, равен R . Вычислите длину ребра куба.

Ответ:________________________________________________________________________________

С1. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. В этот конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса.

Ответ:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 7

Вариант 1

А1. Прямоугольник со сторонами, равными 10 см и 12 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите полную площадь поверхности полученного тела вращения .

¤ 1) 460π см 2 ¤ 2) 420π см 2 ¤ 3) 440 π см 2 ¤ 4) 400π см 2

А2 a . Вычислить площадь сечения, проходящей через две образующие конуса, угол между которыми равен 60 o .

¤ 1) а 2 ¤ 2) а 2 ¤ 3) а 2 ¤ 4) а 2

А3 . Определите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 6 см и 10 см, высота равна 3 см.

¤ 1) 212π см 2 ¤ 2) 224π см 2 ¤ 3) 220π см 2 ¤ 4) 216π см 2

А4. + + +6 x -8 y +2 z -7=0

¤ 1) 132 π ¤ 2) 136 π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128 π

А5. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Определите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 15 см, 15 см и 24 см.

А6. В конус с углом r вписана сфера радиуса R . Найдите величину r , если известны R и .

¤ 1) R tg( - ¤ 2) R tg( + ¤ 3) R tg ¤ 4) R ctg

В1 . Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади полученных сечений равны см 2 и

Ответ: _______________________________________________________________________________

В2. Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а площадь полной поверхности тела вращения равна 60

Ответ: ________________________________________________________________________________

В3 . Сфера радиуса R касается всех ребер правильной треугольной призмы. Найдите длину бокового ребра призмы и расстояние от центра сферы до плоскостей боковых граней.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1 D D : DB =1:2:3. Определите отношение радиусов сечений (меньшего к большему), если прямая, содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол .

Ответ: ________________________________________________________________________________

С2. Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды. Найдите радиус такой сферы, если все ребра пирамиды равны 18 см.

Ответ: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 7

Обобщение темы «Цилиндр, конус, шар».

Вариант 2

А1. Прямоугольник со сторонами, равными 8 см и 10 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите полную площадь поверхности полученного тела вращения .

¤ 1) 360π см 2 ¤ 2) 354π см 2 ¤ 3) 368 π см 2 ¤ 4) 376π см 2

А2 . Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной a . Вычислить площадь сечения, проходящей через две образующие конуса, угол между которыми равен 45 o .

¤ 1) а 2 ¤ 2) а 2 ¤ 3) а 2 ¤ 4) а 2

А3 . Определите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 5 см и 8 см, высота равна 4 см.

¤ 1) 150π см 2 ¤ 2) 154π см 2 ¤ 3) 158π см 2 ¤ 4) 146π см 2

А4. Найдите площадь поверхности сферы, заданной уравнением + + -4 x +2 y +6 z -4=0

¤ 1) 68 π ¤ 2) 80 π ¤ 3) 76 π ¤ 4) 72 π

А5. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Определите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

¤ 1) 1 см ¤ 2) 2 см ¤ 3) 3 см ¤ 4) 4 см

А6. В конус с углом при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R . Найдите величину R , если известны

Ответ: ________________________________________________________________________________

В3 . Сфера радиуса R касается всех ребер правильной треугольной призмы. Найдите длину ребра основания призмы и расстояние от центра сферы до плоскостей оснований призмы.

Ответ: ________________________________________________________________________________

С1 . Две параллельные плоскости пересекают диаметр сферы АВ в точках С и D , делящих его в отношении АС:С D : DB =1:3:4. Определите отношение радиусов сечений (меньшего к большему), если прямая, содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол .

Ответ: ________________________________________________________________________________

С2. Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды. Найдите радиус такой сферы, если все ребра пирамиды равны 22 см.

Ответ: ________________________________________________________________________________

676π

4x-6y+2z+7=0

(-4 ;5;2), (; )

2704π

3x-4y+8z-12=0

(3;0;7), (1;2;3)

(2+ )R

2(2+ )R

12 см, 9 см, 9 см

R ,

11 см