Общая характеристика сложных суждений была дана в предыдущем параграфе, когда речь шла о простых суждениях. Теперь мы рассмотрим основные виды сложных суждений, которые образуются из простых суждений с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания .

Соединительным суждением(конъюнкция) называется суждение, в котором утверждается или отрицается принадлежность предмету нескольких совместимых признаков. Например: «Город Одесса находится на берегу моря и является портом». Под конъюнкцией, или логическим умножением, понимается логическая операция, соединяющая два или более высказываний при помощи союза «и», «а», «но», «да», «,» в новое, сложное высказывание. Его истинность зависит от истинности исходных высказываний.

По количеству соединительные суждения могут быть единичными («Доклад был коротким, интересным и содержательным»), частными («Некоторые одесситы успешно работают и хорошо воспитывают своих детей») и общими («Все студенты-заочники трудятся на производстве и учатся в вузе»).

Формула соединительного (конъюнктивного) суждения: А Λ В, где А, В – члены высказывания, а знак «Λ» обозначает союз «и», «а», «но», «да», «,».

Например, «Доклад был коротким, интересным и содержательным». В данном суждении один субъект (S) «доклад» и три предиката (Р 1 , Р 2 , Р 3) «короткий, интересный и содержательный».

Сложное суждение можно представить в виде трех простых суждений:

Доклад был коротким. Доклад был интересным. Доклад был содержательным.

(S есть Р 1) (S есть Р 2) (S есть Р 3).

Предикаты разделены союзом «и» и запятой, которые в символической записи конъюнкции обозначается знаком «Λ». Поэтому между полученными простыми суждениями в составе сложного суждения ставим знаки «Λ»:

(S есть Р 1) Λ (S есть Р 2) Λ (S есть Р 3)

Сложное конъюнктивное высказывание истинно тогда и только тогда, когда каждое из исходных высказываний истинно, и ложно, когда по крайней мере одно из исходных высказываний ложно. Например, торговый агент, исследующий спрос на рынке, направляет руководству фирмы доклад, состоящий из ряда высказываний. Истинность его информации, естественно, будет зависеть от истинности исходных высказываний (о ценах, спросе, предложении и т.п.). Если хоть одно из исходных суждений окажется ложным, весь доклад ставится под сомнение. Например. «Наша фирма кредитоспособна (А) и конкурентоспособна (В)» будет истинным в том и только в том случае, если оба суждения А (о кредитоспособности) и В (о конкурентоспособности) истинны. Если же А ложно или В ложно, либо и А, и В ложны, то все утверждение обращается в ложь, т.е. фирма не оправдывает такой характеристики.

Разделительным суждением(дизъюнкция) называется суждение, в котором выражается знание того, что данному предмету присущ (не присущ) только один признак из числа указываемых в суждении. Пример: «Данное коническое сечение или круг, или эллипс, или парабола, или гипербола», «Предприятие разорилось либо вследствие плохой организации производства, либо по причине серьезных финансовых затруднений». Дизъюнкцией называется логическая операция, состоящая в соединении двух или более высказываний при помощи логических союзов «или», «либо» в новое сложное суждение. Союз «или» может иметь двоякий смысл: «или» как противопоставление одного другому в такой степени, что одно исключает другое («Эта электричка пойдет в Колосовку или отправится в тупик, т.е. будет стоять»); «или» как допущение и одного, и другого, даже как частичное совпадение первого и второго. («Меткий стрелок обладает острым зрением или твердой рукой»). В зависимости от этих двух значений союза «или» получаем два вида дизъюнкции.

Строгая дизъюнкция – такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим исключительное, можно сказать, дихотомическое значение: «Этот предмет или белый, или небелый». Формула строгой дизъюнкции: AV В, где А и В – члены высказывания, V – союзы «или», «либо».

Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно лишь одно из двух простых суждений. Когда же А и В одновременно истинны или одновременно ложны, тогда сложное высказывание является ложным. Например. «Директор отправится на юг на поезде (А) или полетит на самолете (В)». Он не может одновременно воспользоваться двумя видами транспорта.

Нестрогая дизъюнкция – такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим неисключительное значение («или А, или В, или то и другое вместе»). Здесь истинность одного высказывания не отрицает истинности другого. Примеры: «Студенты добиваются хороших показателей в учебе или прилежанием, или систематическим повторением пройденного», «Бизнесмен добивался финансового успеха или экономией денег, или выгодным помещением их в банки». Такую дизъюнкцию называют соединительно-разделительной. Ее формула: AVВ, где А и В – члены высказывания, V - союз «или».

Нестрогая дизъюнкция истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Например, «Увеличение рентабельности достигается путем повышения производительности труда (А) или путем снижения себестоимости продукции (В)». Данное высказывание истинно в случае истинности хотя бы одного из двух суждений.

Условным суждением (импликация) называется суждение, в котором отображается зависимость явления от определенных условий и в котором основание и следствие соединяются посредством логического союза «если..., то…» . Примеры: «Если тело подвергнуть трению, то тело начнет нагреваться», «Если регулируемые цены отпустить, они будут зависеть от спроса и предложения». Формула условного суждения: «Если А есть В, то С есть Д». Основание (антецедент) суждения – это его часть от частицы «если» до частицы «то». Следствие (консеквент) суждения – это его часть после частицы «то». Связка («если..., то») свидетельствуют о наличии отношения между основанием и следствием.

Формула импликации: А→В, где А – антецедент, В – консеквент, а знак «→» свидетельствует об отношении между А и В.

Импликация истинна всегда, кроме случая, когда первое суждение истинное, а второе ложно. Например: «Если ограничить выпуск денежной массы в обращение, инфляция сократится». Действительно, не может быть, чтобы выпуск денежной массы в обращение был ограничен (А), т. е. суждение истинно, а инфляция не сократилась, т. е. суждение (В) было ложным.

Суждением эквиваленции называется суждение, в котором исходные высказывания соединяются между собой логическим союзом «если и только если..., то», «тогда и только тогда, когда…» . Примеры: «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный», «Фирма купит товар тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%».

Формула эквивалентных суждений: Если А, то В, и если В, то А. Формула эквиваленции: А↔В, где А и В – члены высказывания, знак «↔» свидетельствует об отношении между А и В.

Суждения эквиваленции в отличие от импликативных можно «обернуть, т.е. поменять местами. Например: «Если число делится на два, то оно четное» и «Если число четное, то оно делится на два»; «Если сегодня четверг, то завтра пятница» и «Если завтра пятница, то сегодня четверг». От изменения позиций антецедента и консеквента истинность суждения не изменится.

Эквиваленция истинна когда оба суждения истинны или оба ложны.

Сложное отрицательное суждение характеризуется так: если А истинно, то его отрицание ложно, и если А – ложно, то Ā – истинно . Например, высказывание «Десять – четное число» истинно, поэтому его отрицание «Неверно, что десять – четное число» ложно.

С помощью таблиц истинности для любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно.

7.1. Определение и структура сложных суждений. Основные логические союзы.

7.2. Истинность сложных суждений.

7.1. Сложными суждениями называют в логике такие, которые состоят из двух и более простых (элементарных) суждений, соединенных между собой логическими союзами . Таким образом, структура сложного суждения состоит из определенного числа простых суждений (которые в данном случае уже считаются далее неразложимыми элементами целого) и отношений между ними, выражаемых логическими союзами.

Всего таких союзов и, следовательно, типов логических отношений между составляющими сложное простыми суждениями существует четыре . Каждый из них имеет свое обозначение (символ) и задает свои особые логические свойства соответствующему отношению. Сначала мы дадим самую общую краткую характеристику этим союзам, а затем раскроем их логические свойства, используя для этого так называемые таблицы истинности.

1. Соединительный логический союз – называется в логике «конъюнкция» и кратко обозначается символом «Λ». В естественном языке к нему наиболее близкие смысловые отношения чаще всего выражаются союзом «и». Но этот же смысл может выражаться и другими частицами и союзами, такими как «а», «но», «да» и другими. Достаточно часто этот смысл в текстах выражается просто запятой.

Пример: «Сегодня на улице жарко, сухо и солнечно». В этом предложении, тип которого нам хорошо знаком, заключено с логической точки зрения сложное суждение, состоящее из трех простых, соединенных конъюнкцией. Субъект каждого из простых суждений выражается словами «сегодня на улице», предикаты – словами «жарко», «сухо», «солнечно». Если же записать его правильно, используя логическую символику, то получится следующее достаточно громоздкое выражение:

(S – P 1) Λ (S – P 2) Λ (S – P 3).

В этой записи скобки выделяют простые суждения. Вместе с тем простые суждения, когда в логике идет речь о сложных, принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д., что заметно сокращает запись. В итоге получаем:

2. Разделительный логический союз – в логике он называется «дизъюнкция» и обозначается символом «V». Смысл наиболее близкий к логическому значению этого союза в естественном языке обычно связывается с тем, что мы имеем в виду, употребляя союзы «или» и «либо». В подобных случаях могут также встречаться союзы «а», «но» и другие.

Пример: «Я буду писать от руки или печатать на машинке или набирать на компьютере». В символической записи логический смысл этого предложения будет выглядеть так: А V В V С.

Логическая теория различает два вида (значения) дизъюнкции: дизъюнкцию слабую , именно она обозначается уже известным нам символом «V» и дизъюнкцию сильную , или иначе говоря – строгую . Последняя обозначается тем же символом, но с одним отличием – к нему добавляется сверху точка, вот так: «». Смысловая разница между двумя видами разделительного союза достаточно существенна и ее никогда не следует терять из виду. Однако в чем она заключается мы узнаем, познакомившись с соответствующими таблицами истинности.

3.Условный логический союз – в логике носит название «импликация» и символически обозначается так «→ ». Пример записи суждения с этим союзом: А → В. Такое суждение называется условным . В обычном языке смысл, эквивалентный импликации, передается сочетанием союза и частицы «если …, то …». Пример: «Если будет хорошая погода, то мы пойдем в парк». В развернутой символической записи соответствующее этому грамматическому предложению логическое суждение будет выглядеть так: «Если S 1 есть P 1, то S 2 есть P 2 », более коротко: (S 1 – P 1) → (S 2 – P 2) и предельно сокращенная символическая запись: А → В.

4. Эквиваленция – логический союз, обозначаемый символом «↔» (стрелка с двумя наконечниками). В естественном языке смысл, соответствующий этому союзу, наиболее часто выражается словосочетаниями «если и только если …» и «тогда и только тогда, когда …». Пример: «Тогда и только тогда, когда вы сдадите все зачеты, вы будете допущены к сдаче экзаменов». В логической символике сложное суждение, заключенное в этом предложении, записывается очень просто: А ↔ В. Употребление этого союза наиболее характерно для точных наук (математики, теоретической физики и т.д.), для юриспруденции, а также языка различного рода инструкций, договоров и т.п. В разговорной, обыденной речи формулировки, близкие по смыслу к значению логического союза эквиваленции (тождественности) встречаются не часто.

7.2. Соотнесение сложных суждений с структурами (предложениями) естественного языка дает в целом лишь приблизительное и не очень точное понимание значений логических союзов. Строгое в логическом смысле их значение задается таблицами истинности . Эти таблицы определяют зависимости истинностных характеристик сложного суждения от истинности или ложности входящих в его состав простых суждений.

Таблицы истинности, задающие значение логических союзов, составлены следующим образом. Берется сложное суждение, состоящее из двух простых, соединенных одним из логических союзов, к примеру, суждение В Λ С, и методом перебора вариантов рассматриваются все возможные сочетания характеристик истинности для простых суждений. Всего их четыре. В первых двух колонках при помощи символов И – истина, Л – ложь указываются эти значения для простых суждений. В третьей колонке по соответствующим строчкам дается итоговая характеристика истинности сложного суждения. Какова будет эта характеристика как раз и обусловлено тем или иным логическим союзом.

Для конъюнкции, или соединительного союза, таблица истинности выглядит следующим образом:

В	С	В Λ С
И	И	И
Л	И	Л
И	Л	Л
Л	Л	Л

Как видно из таблицы, особенность этого союза в том, что строящееся на нем сложное суждение может быть истинным только в одном случае: если оба простых суждения входящих в состав сложного, истинные. А если таких простых суждений будет больше, чем два, то при наличии соединительного союза необходимо, чтобы все они без исключения были истинными. В противном случае все конъюнктивное сложное суждение будет ложным.

Логическое значение дизъюнкции задается двумя таблицами истинности:

а) слабая дизъюнкция

И, наконец, для эквиваленции (тождественности) таблица истинности следующая:

В	С	В ↔ С
И	И	И
Л	И	Л
И	Л	Л
Л	Л	И

Используя эти таблицы можно определять истинность сложных суждений любой «длины» (т.е. объединяющих в своей структуре любое (но конечное) количество простых суждений), в том числе и таких, в которых присутствуют разные логические союзы. Для этого просто, двигаясь слева направо, и опираясь на приведенные таблицы, нужно устанавливать совместную истинность одной пары простых суждений и, принимая условно этот фрагмент за одно из простых составляющих, определять истинность следующей ближайшей пары и т.д. – до конца.

Понятие сложных суждений неразрывно связано с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией и отрицанием.

Это так называемые логические связки. Они используются в качестве объединяющего звена, привязывающего одно простое суждение к другому. Именно так образуются сложные суждения. То есть сложные суждения - это суждения, созданные из двух простых.

Отношение истинности суждений отображается в таблицах. Эти таблицы отражают все возможные случаи истинности и ложности суждений, причем каждое из простых суждений, входящее в состав сложного, отражается в «шапке» таблицы в виде буквы (например, a, b). Истинность или ложность отражается в виде букв «И» или «Л» (истина и ложь соответственно).

Прежде чем рассматривать конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию и отрицание, имеет смысл дать им краткую характеристику. Данные логические связки называют логическими постоянными.

В литературе можно встретить их иное название - логические константы, однако от этого не меняется их суть. В нашем языке эти постоянные выражаются определенными словами. Так, конъюнкция выражается союзами «да», «но», «хотя», «зато», «и» и другими, а дизъюнкция - при помощи союзов «или», «либо» и др. Можно говорить об истинности конъюнкции, если истинны оба простых суждения, входящих в нее. Дизъюнкция истинна, когда истинно только одно простое суждение. Это относится к строгой дизъюнкции, нестрогая же истинна при условии истинности хотя бы одного из составляющих ее простых суждений. Импликация характеризуется истинностью всегда, кроме одного случая.

Рассмотрим сказанное выше подробнее.

Конъюнкция (a^b) - это способ связи простых суждений в сложные, при котором истинность полученного суждения напрямую зависит от истинности составных. Истинность таких суждений достигается только тогда, когда оба простых суждения (и а, и b) так же истинны. Если хотя бы одно из данных суждений ложно, то ложным следует признать и образованное из них новое, сложное суждение. Например, в суждении «Этот автомобиль очень качественный (а) и пробежал всего десять тысяч метров (b)» истинность зависит как от его правой стороны, так и от левой. Если оба простых суждения истинны, то истинно и сложное, образованное из них. В противном случае (если хотя бы одно из простых суждений ложно) оно является ложным. Это суждение является характеристикой конкретному автомобилю. Ложность одного из простых суждений, очевидно, не исключает истинности другого, и это может приводить к ошибкам, связанным с определением истинности сложных суждений, образованных при помощи конъюнкции. Конечно, истинность одного простого суждения не исключается ложностью другого, но не следует забывать, что мы даем характеристику предмету, и с этой точки зрения ложность одного из простых суждений рассматривается с другой стороны. Это связано с тем, что с ложностью суждения по одному из пунктов данной характеристики характеристика в целом становится ложной (другими словами, ведет к передаче неверной информации о машине в целом).

Дизъюнкция (a V b) бывает строгой и нестрогой. Отличие между этими двумя видами дизъюнкции состоит в том, что при нестрогом виде члены ее не исключают друг друга. Примером нестрогой дизъюнкции может быть: «Для получения заготовки деталь можно довести на станке (а) или предварительно обработать напильником (b)». Очевидно, что здесь а не исключает b и наоборот. Истинность подобного сложного суждения зависит от истинности его членов следующим образом: если ложны оба члена, ложным признается и образованное при их посредстве дизъюнктивное суждение. Однако, если ложно только одно простое суждение, такая дизъюнкция признается истинной.

Строгая дизъюнкция характерна тем, что ее члены исключают друг друга (в отличие от нестрогой дизъюнкции). Суждение «Сегодня я сделаю уроки (а) или пойду гулять на улицу (b)» является примером строгой дизъюнкции. Действительно, можно совершить в данный момент только одно действие - сделать домашнюю работу либо идти гулять, оставив уроки на потом. Поэтому строгая дизъюнкция истинна, только когда истинно лишь одно из простых суждений, входящих в нее. Это единственный случай истинности строгой дизъюнкции.

Эквивалентнция характеризуется тем, что образованное сложное суждение истинно только в тех случаях, когда истинны оба простых суждения, входящих в его состав, и ложно при ложности обоих этих суждений. В буквенном выражении эквивалентность выглядит как а = b.

При отрицании суждения, отображающееся как а, истинно тогда, когда ложно отрицаемое понятие. Это связано с тем, что отрицание и отрицаемое простое суждение не только противоречат, но и исключают (отрицают) друг друга. Таким образом, получается, что, когда истинно понятие а, ложно понятие а. И наоборот, если ложно а, то отрицающее его а является истинным.

Импликация (a - › b) истинна во всех случаях, кроме одного. Другими словами, если оба входящих в импликацию простых суждения истинны или ложны либо если ложно суждение а, импликация истинна. Однако при ложности суждения b ложным становится и сама импликация. Это можно рассмотреть на примере: «Мы бросим исправный патрон в костер (а), он взорвется (b)». Очевидно, что если первое суждение верно, то верно и второе, так как взрыв патрона, брошенного в костер, произойдет с неизбежностью. Поэтому, рассмотрев первый случай, мы можем сделать вывод о том, что если второе суждение ложно, то ложна и вся импликация.

Все рассмотренные выше примеры конъюнкции, дизъюнкции, импликации состояли из двух переменных. Однако это не всегда бывает так. Возможно наличие трех и более переменных. Рассматривая сложные суждения на предмет истинности, мы получаем буквенные формулы. Последние могут характеризоваться как истинностью, так и ложностью. В связи с этим тождественно-истинной называется формула, которая истинна при любых комбинациях своих переменных. Наименование тождественно-ложной имеет формула, которая принимает только ложное значение (значение «ложь»). Последним видом таких формул является выполнимая формула. В зависимости от комбинаций переменных, входящих в нее, она может принимать как значение «истина», так и значение «ложь».

2. Выражение высказываний

Выражение высказываний происходит при помощи символов - переменных и знаков, обозначающих логические термины. Других символов для этой цели нет. Переменные высказывания выражаются в виде букв латинского алфавита (a, b, c, d и т. д.). Такие буквы называют переменными высказываниями, а также пропозициональными переменными. Говоря простым языком, под этой группой символов понимаются простые суждения, составляющие высказывание. Выражаются данные суждения в виде повествовательных предложений. Другая группа символов , использующаяся для выражения высказываний в виде формул, это знаки. Они обозначают логические термины, такие как конъюнкция и дизъюнкция, которая может быть строгой и нестрогой, отрицание, эквиваленция и импликация. Конъюнкция отображается в виде галочки, направленной вверх (^) дизъюнкция как галочка, направленная вниз (V). При строгой дизъюнкции выше галочки ставится точка. Импликация имеет знак «-›», отрицание (-), эквиваленция (=).

Последним видом символов, при помощи которых выражаются высказывания, являются круглые скобки.

Символы, обозначающие логические термины, типы связки, характеризуются разной силой. Так, связка ^ считается самой сильной, т. е. она связывает сильнее всех остальных. Связка V сильнее, чем -, что важно только в некоторых случаях. Так, определение силы связок становится немаловажным в случае записи формул без использования скобок. Если мы имеем высказывание, выраженное формулой (a^b )V c , можно не писать скобки, а прямо указывать, что a^b V c. То же правило действует и при использовании символа - ›. Однако данное правило справедливо не во всех случаях. То есть во многих случаях недопустимо опускать скобки. Например, когда конъюнктивная связка понятия а осуществляется с двумя другими понятиями, связанными отношением импликации и отделенными круглыми скобками, опускать последние недопустимо (a^(b - c)). Это очевидно, так как в противном случае пришлось бы вначале осуществлять связку конъюнкции и только затем импликацию. Из школьного курса математики мы знаем, что опускать скобки в подобном случае нельзя. Иллюстрацией подобной ситуации может быть следующий пример: 2 X (2 + 3) = 10 и 2 X 2 + 3 = 7. Результат очевиден.

В связи со сказанным выше можно отметить, что далеко не каждое символьное выражение высказываний является формулой. Для этого необходимо наличие определенных признаков. Например, формула должна быть построена правильно. Примерами такого построения могут быть: (a^b), (a V b), (a - b), (a = b). Это построение отмечается как ППФ, т. е. правильно построенная формула. Примерами неправильно построенных формул могут быть: a^b, a V b , V b, a - b, (a^b) и др. В первых трех случаях неправильность формулы заключается в том, что понятия, объединенные связками, должны быть заключены в скобки. Последняя формула имеет незакрытую скобку, третий же пример характеризуется тем, что одно простое понятие не объединено с другим, несмотря на то что имеется символ дизъюнкции.

В своей повседневной жизни мы часто, иногда не замечая этого, пользуемся не только простыми, но и сложными суждениями. Такие суждения, как уже было сказано выше, образуются из двух или нескольких простых суждений при помощи логических связок, которые носят название дизъюнкции, конъюнкции, импликации и отрицания, а также эквиваленции. Данные связки выражаются при помощи знаков: ^ для конъюнкции, V для дизъюнкции, - > для импликации. Знаком = отображают эквивалентность, а знак a означает отрицание. Есть два варианта отображения дизъюнкции. Первый - это простая галочка, направленная вниз - для простой дизъюнкции. При сложной используется такая же галочка, но с точкой сверху. Графическое изображение формул сложных суждений очень важно, так как позволяет более ясно понять их структуру, природу и смысл.

Логические связки объединяют простые суждения , которые по сути являются повествовательными предложениями. И тут вариантов достаточно много. Предложения могут состоять из существительных и прилагательных, из глаголов, причастий и т. д. Некоторые предложения представляют собой простые суждения, другие - сложные. Сложные суждения или высказывания характеризуются тем, что могут быть разбиты на два простых, объединенных логической постоянной. Однако это возможно не со всеми сложными предложениями. Когда в результате расчленения высказывание изменяет свой смысл, такая операция недопустима. Например, когда мы говорим «Район был старый, и дома в нем давно одряхлели», мы имеем в виду конъюнкцию, где одна сторона, «район был старый», объединена союзом «и» со второй частью - «дома в нем давно одряхлели». Смысл высказывания не изменился, несмотря на то что мы рассмотрели простые суждения в отрыве друг от друга. Однако в высказывании «На стоянке припаркована красивая и быстрая машина» попытка разделения приведет к искажению первоначально передаваемой информации. Так, рассматривая простые суждения отдельно, мы получим: «на стоянке припаркована красивая (машина)» - это первое суждение, объединенное со вторым союзом «и». Второе суждение таково: «(на стоянке припаркована) быстрая машина». В результате можно подумать, что машин было две - одна красивая, другая быстрая.

Логика - это, безусловно, самостоятельная наука, имеющая свой понятийный аппарат, инструментарий, информационную базу. Любая самостоятельная наука отделена от других и зачастую в корне отличается подходом к тому или иному предмету. Это следует иметь в виду, когда мы рассматриваем с точки зрения логики конструкции русского языка. Логика изучает такие построения более изолированно. Так, зачастую фактор времени не принимается в расчет при рассмотрении различных суждений. В русском языке фактор времени, в соответствующих случаях, учитывается всегда. Здесь следует сказать о коммутативности конъюнкции, которая неразрывно связана с указанными выше особенностями языка и логики. Коммутативность - это эквивалентность суждений (высказываний), когда (a^b) = (b^a). В языке закон коммутативности конъюнкции не действует, так как принимается во внимание фактор времени. Действительно, невозможно себе представить эквивалентность некоторых суждений, одно из которых по времени раньше другого, и наоборот. Например, не будут эквивалентны высказывания «Пошел дождь, и мы промокли» (a^b) и «Мы промокли, и пошел дождь» (b^a). Та же ситуация просматривается в высказываниях «Грянул выстрел, и зверь упал» и «Зверь упал, и грянул выстрел». Очевидно, здесь учитывается фактор времени, согласно которому одно событие или действие, отраженное в сложном суждении, предшествует другому, отчего зависит смысл всего высказывания.

Логика абстрагируется от времени и оценивает суждение только с точки зрения его правильного построения, а также истинности либо ложности. В связи с этим приведенные выше высказывания являются эквивалентными, так как в каждом отдельно взятом случае истинны обе их части.

Таким образом, конъюнктивные высказывания в логике коммутативны , использование же в суждениях союза «и» с точки зрения языка (в случае, когда учитывается фактор времени) некоммутативно.

Несмотря на то что выше были указаны предлоги, при помощи которых образуется конъюнкция, нельзя говорить о том, что при отсутствии в суждении этих предлогов конъюнкция невозможна. Это не так. Зачастую в предложениях, представляющих собой сложные суждения, в качестве связок используются разные знаки препинания. Например, это может быть запятая или тире, а иногда и точка.

Используемые в высказываниях знаки препинания ставятся между простыми суждениями и связывают их друг с другом. В качестве примера использования знаков препинания как логических связок можно привести предложение «Тучи разошлись, выглянуло солнце» или «На улице ударил мороз, вся живность попряталась, на крышах образовались сосульки». В целом вопросами языкового выражения конъюнкции занимались многие ученые. Поэтому данный вопрос хорошо проработан и освещен.

Дизъюнкция (напомним, что ее символьное обозначение V, а также аналогичная галочка, но с точкой наверху) бывает строгой и нестрогой. Различия этих двух видов, как уже говорилось, заключаются в том, что члены нестрогой дизъюнкции исключают друг друга, в то время как члены строгой - нет.

Закон коммутативности при дизъюнкции действует независимо от того, какой ее вид имеется в виду. Вспомним, что дизъюнкция выражается союзами , главные из которых, определенно, «или» и «либо». Приведем примеры строгой и нестрогой дизъюнкции и используем их для иллюстрации действия закона коммутативности. Суждение «Я выпью воды с газом или без газа» является примером нестрогой дизъюнкции, в то время как суждение «Я пойду в университет или останусь дома» - строгой. Различие между ними состоит в том, что в первом случае действие все равно будет совершено, вне зависимости от выбранного типа воды. Во втором же случае действие (пойду в университет) исключается, если выбрать второй вариант и остаться дома. Во многих случаях союз «или» можно просто заменить союзом «либо». Например, в предложении «Или я съеду с горы на лыжах, или упаду по пути» можно использовать союз «либо» без каких-нибудь изменений. Однако есть союз, который используется самостоятельно и также является дизъюнктивной связкой. Это союз «то ли, то ли». Он достаточно часто используется при построении предложений «Сегодня приезжал то ли ревизор, то ли аудитор»; «Он живет то ли на Московской, то ли на Комсомольской улице» и т. д.

Как уже было сказано выше, закон коммутативности в дизъюнктивных высказываниях действует независимо от типа дизъюнкции. Возьмем для примера следующее суждение: «Я выпью воды с газом или без газа» и «Я выпью воды без газа или с газом». Очевидно, что разницы между ними нет, смысл остается одним. Так же можно проверить и другие примеры, скажем, «Я пойду в университет или останусь дома» и «Я останусь дома или пойду в университет». Содержание и объем сложного суждения, образованного при помощи дизъюнкции, не меняются от перестановки его членов. Именно поэтому мы и говорим об универсальной коммутативности.

Выражение логических связок в языке очень многообразно, существует множество схем, по которым строятся высказывания. По каждой из этих схем можно построить огромное количество сложных суждений. Особенно это характерно для русского языка во всей его неоднозначности. Например, импликация строится по таким схемам, как, например, «для А необходимо В»; «для В достаточно А»; «если А, то В», «А, только если В» и др. Например: «Для того чтобы много знать, необходимо много учиться»; «Для прыжка с вышки достаточно правильно оттолкнуться ногами»; «Если машина застрянет, то ее придется толкать»; «Вы сможете сдать сессию вовремя, только если начнете готовиться немедленно».

Ряд формул существует и для эквиваленции: «А, если В, и В, если А»; «для А необходимо и достаточно В»; «А тогда и только тогда, когда В» и др. Приведем примеры суждений, построенных на основе указанных схем. Например: «Если человек занимается тяжелой атлетикой, он станет сильнее» и «Человек станет сильнее, если он занимается тяжелой атлетикой»; «Для поступления в вуз необходимо и достаточно сдать вступительные экзамены»; «Вы достигли вершины тогда и только тогда, когда ступили на самую высокую точку горы».

В связи с этим необходимо упомянуть также о неоднозначности союзов, выражающих логические постоянные (конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и т. д.). Например, союз «если» может зачастую выражать не импликацию, а конъюнкцию. Это зависит от наличия содержательной связи между суждениями. В связи с этим необходимо рассматривать выражения естественного языка с позиций их многообразия и неоднородности.

Кроме логических связок , выражаемых в русском языке при посредстве союзов, которые используются при образовании общих и частных суждений, существуют кванторы. Это квантор существования и квантор общности.

Квантор общности выражается в русском языке словами «каждый», «всякий», «все», «ни один» и т. д. Обычно формула с квантором общности читается как «все предметы обладают определенным свойством».

Квантор существования выражается словами «большинство», «меньшинство», «некоторые», «многие» и «немногие», «немало» и «немного», «почти все» и т. д. Этот квантор выражается как «существуют некоторые объекты, обладающие определенным свойством». Имеется вариант употребления квантора существования, при котором «существуют некоторые объекты, которые больше определенного значения». В данном построении под объектами понимаются числа.

Некоторые суждения, построенные при помощи импликации, выражены в сослагательном наклонении. Они имеют такую же формулу, как и другие импликации (a - › b), но их принято называть контрафактическими. Сослагательное наклонение дает нам понять, что основание и следствие таких суждений ложны. Однако эта ложность не универсальна, т. е. при определенных обстоятельствах возможна истинность подобных высказываний. Другими словами, такие суждения могут правильно и объективно отражать предмет.

Истинность возможна, если отношения между основанием и следствием подразумевают, что истинность следствия вытекает из истинности основания. В противном случае мы можем констатировать ложность такого суждения.

Высказывание, построенное в сослагательном наклонении, имеет структуру «если бы А, то было бы В». Например, «Если бы вы ходили на все занятия по логике, вы успешно сдали бы экзамен»; «Если бы поезд не опоздал, мы опоздали бы на поезд» и «Если бы пациент не упал, у него не болела бы нога».

Контрафактические высказывания имеют большое значение для истории, философии, в определенной степени математики и некоторых других наук. Они используются при построении гипотез, рассмотрении исторических и иных вопросов и определении возможных направлений протекания тех или иных процессов. Например, до сих пор не умолкают дискуссии на тему Великой Отечественной войны. В рамках этой дискуссии рассматривается вопрос о возможностях ее альтернативного хода и результатах, которые могли бы быть при другом стечении обстоятельств. Также в рамках химии, физики, астрономии зачастую используются контрафактические суждения. Например, практическая физика иногда приходит к выводу, что теоретически определить точное течение какого-либо процесса не представляется возможным. В этом случае для достижения необходимого результата приходится использовать метод интеллектуального перебора и подтверждать результаты практикой.

Следующее суждение может быть примером контрафактического суждения в физике: «Если мы пропустим электрический ток через медный проводник, то разряд получится сильнее». Так как истинность контрафактического суждения неоднозначна, а по умолчанию как основание его, так и следствие (а соответственно, и все суждение в целом) признаются ложными, данное суждение приходится проверять на практике. В данном случае суждение может быть как истинным, так и ложным. Это зависит от того, какой проводник мы использовали ранее. Например, если перед медным мы брали железный проводник, наше суждение будет истинным, так как медь дает меньшее сопротивление при движении по проводнику электрического тока. Однако если ранее мы использовали в качестве проводника золото, суждение окажется ложным, опять же по причине, связанной с проводимостью материалов, - золото обладает проводимостью гораздо большей, нежели медь. Астрономия ставит под вопрос некоторые свойства орбит небесных тел и особенностей движения последних, взаимное расположение планет, звезд, систем и галактик и т. д. Вследствие этого также используются контрафактические высказывания. Иногда для своего оправдания или чтобы сгладить острую ситуацию, люди говорят: «Если бы этого не произошло, то все пошло бы иначе». Это тоже пример использования сослагательного наклонения.

Однако следует помнить о том, что контрафактические суждения состоят из ложных основания и следствия. Поэтому при использовании подобных конструкций в науке необходимо соблюдать известную осторожность.

Контрафактические суждения могут выражаться при помощи формул. В таких формулах отражается количество членов высказывания, вид связки между ними и знак импликации. Импликация в контрафактическом суждении имеет определенную специфику: она соответствует, кроме прочего, союзу «если… то». Слева в такой формуле отражаются члены контрафактического высказывания, соответствующие союзу «если», справа же - союзу «то». Разделены левая и правая части знаком импликации, отличным от применяемого в классической логике высказываний. Отличие этих двух символов состоит в том, что на задней стороне стрелочки, обозначающей импликацию (классический вариант (-›)), в контрафактической импликации имеется вертикальная черта (| - ›). Такой знак в классической логике высказываний не применяется.

3. Отрицание сложных суждений

Отрицание суждения в логике - это замена существующей связки внутри сложного высказывания на другую, противоположную последней. Если мы говорим о формуле, в которой можно выразить отрицание сложных суждений, то нужно отметить, что отрицание графически выражается как горизонтальная черта над отрицаемым суждением. Таким образом, мы получим два понятия, объединенных логической связкой, над которыми проведена горизонтальная черта. Если такая черта уже есть, то для осуществления отрицания необходимо такую черту удалить.

Все сказанное выше относится к операциям, производимым с применением конъюнкции и дизъюнкции. Однако сказанное выше не означает, что отрицание сложных суждений возможно, только если они содержат исключительно связки конъюнкцию и дизъюнкцию. В случае, если необходимо осуществить операцию отрицания по отношению к суждению, содержащему импликацию, необходимо заменить это суждение так, чтобы при отсутствии каких-либо его изменений отбросить импликацию. Это означает, что необходимо подобрать суждение, эквивалентное данному, которое при этом не содержало бы импликации. Когда мы говорим о суждении, эквивалентном содержащему импликацию, но не содержащему ее, подразумевается замена этой связки на конъюнкцию или дизъюнкцию. Графически это выглядит как (a - b) = (a V b). Затем производится описанная выше операция, при которой знак конъюнкции меняется на дизъюнкцию, и наоборот.

Обычно в речи выражение отрицания сводится к добавлению приставки «не». Действительно, так как указанная приставка является отрицательной, ее применение для установления противоположности вполне оправдано.

Необходимо упомянуть о законах де Моргана. Они применяются в процессе отрицания сложных суждений и имеют формульное выражение. Таких законов и, соответственно, формул всего четыре:

Рассмотрев сказанное выше, можно отметить, что отрицание сложного суждения, где содержится конъюнкция или дизъюнкция, является «простым» вариантом, при котором достаточно лишь проведения операции отрицания.

Формула, образованная при помощи законов де Моргана, выглядит следующим образом:

(a ^b) V (c ^e) = (a V b) ^(c V e).

Приведем примеры операции отрицания. Отрицание сложного суждения, в котором нет импликации: «Я закончу работу и пойду гулять и зайду в магазин» - «Я закончу работу, но не пойду гулять и не зайду в магазин». Отрицание сложного суждения, в котором необходимо сначала изменить импликацию на конъюнкцию или дизъюнкцию, можно проиллюстрировать следующим примером: «Если я куплю машину, то поеду за город или заверну на дачу» - «Я куплю машину, но не поеду за город и не заверну на дачу». В этом примере мы для удобства опустили этап исключения импликации.

Необходимо сказать, что суждения, отрицающие друг друга, не могут быть одновременно истинными или ложными. Ситуация противоречия или отрицания характеризуется тем, что одно из противоречащих понятий всегда истинно, а другое при этом ложно. Другого положения в этом случае быть не может.

Нельзя отождествлять операцию отрицания, в результате которой образуется новое суждение, от отрицания, являющегося частью отрицательных суждений. Отрицание суждений может производиться как в отношении всего суждения, так и его частей и выражается словами «не является», «не суть», «не есть», а также «неверно» и др. Исходя из сказанного можно сделать вывод, что есть два вида отрицания - внутреннее и внешнее. Как нетрудно догадаться, внешнее отрицает все суждение в целом. Например, «Некоторые солдаты не являются десантниками» - это внутреннее отрицание, в то время как суждение «Неверно, что Луна является планетой» - это отрицание внешнее. Таким образом, внешнее отрицание - это отрицание всего суждения в целом, тогда как внутреннее показывает факт противоречия или несоответствия предиката субъекту.

В виде формул можно отобразить следующие виды отрицательных суждений: «все S есть Р» и «некоторые S не есть Р» (это общие суждения); «ни одно S не является Р» и «некоторые S являются Р» (частные суждения). Последний вид отрицательных суждений выглядит как «это S является Р» и «это S не является Р» (суждения, называемые единичными).

Замечали вы, как часто изъясняетесь, рассуждаете вслух или про себя? Не исключено, что с десяток раз за день. Но спрашивали ли вы себя: «Что есть суждение?», а оно бывает сложным, простым и состоит из логический связей.

Простые и сложные суждения

Логика фокусирует свои исследования на формах , в которых индивидууму свойственно отдаваться рассуждениям об объектах, субъектах, их взаимоотношениях с другими им подобными, их свойствах и пр. Формулируя иначе, эта философская наука исследует суждения, что классифицируются на:

1. Простые, включающие в себя понятия.
2. Сложные, состоящие из вышеуказанных простых суждений.

Виды сложных суждений

Сложные суждения создаются в логике сочетанием простых. Каждая его часть обозначается латинскими буквами (А, В, С, D и пр.). В зависимости от способа создания суждения, оно бывает:

• конъюктивным;
• разделительным;
• импликативным (условным);
• эквивалентным;
• отрицательным.

Конъюктивные состоят из конъюкции (логических связей, выступающих в виде союзов: «который», «и», «зато», а», «но», «да» и т.п.). Состоят из двух и более частей. К примеру, «Порой мотивация поступка необъяснима не только окружающим, но и самому человеку».

Разделительные суждения связаны союзом «или» и делятся на следующие подвиды:

• строгие (суждения исключают друг друга, то есть союз «или» употребляется как разделение двух частей);
• нестрогие (союз как соединяет, так и разделяет простые суждения).

Примером разделительного суждения может выступать следующее предложение: «Поступок бывает или тщательно продуманным, или ошибочным».

Союзы «если…то» представляют условные суждения. Они состоят из двух простых суждений. Пример: «Если заниматься самоусовершенствованием, то, можно достигнуть задуманного».

Эквивалентные уравнивают части сложного суждения. В качестве логического союза выступают: «достаточно», «если только» и т.п. Пример: «Для достижения запланированного, достаточно просто начать осуществлять малейшие действия на пути к желаемому». Как говорит название этого вида суждения, союзом в отрицательном выступает «не»: «Не нужно осуждать , не прочувствовав все на себе».

Важно отметить, что истинность сложных суждений зависит от того, насколько истинны их составные простые части и, какие союзы их образуют.

Суждения, которые образуются из простых суждений при помощи логических союзов, называются сложными .

Основными логическими союзами являются: конъюнкция -- логический союз «и» имеет чисто соединительное значение, неисключающая (слабая) дизъюнкция -- логический союз «или» имеет соединительно-разделительное значение, исключающая (сильная) дизъюнкция -- логический союз «либо... , либо...» имеет чисто разделительное значение, импликация -- логический союз «если... , то...» каким-то образом (не обязательно по смыслу) соединяет два суждения, связанные между собой (грамматический союз «если... , то...», в отличие от логического, объединяет предложения обязательно связанные по смыслу), эквивалентность -- логический союз «тогда и только тогда, когда...» («если и только если...») объединяет два суждения, связанные однозначной зависимостью.

Вид сложного суждения определяется по главному логическому союзу: если главным логическим союзом в данном суждении является конъюнкция, то это конъюнктивное суждение, дизъюнкция -- дизъюнктивным и т. д.

1. Соединительные (конъюнктивные) суждения.

Соединительным , или конъюнктивным называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «и». Например, суждение «Кража и мошенничество относятся к умышленным преступлениям» является соединительным суждением, состоящим из двух простых: «Кража относится к умышленным преступлениям», «Мошенничество, относится к умышленным преступлениям». Если первое обозначать р, а второе -- q, то соединительное суждение символически можно выразить как р? q, где р и q -- члены конъюнкции (или конъюнкты), ? -- символ конъюнкции.

В естественном языке конъюнктивная связка может быть представлена и такими выражениями, как: «а», «но», «а также», «как и», «хотя», «однако», «несмотря на», «одновременно» и другими. Например: «При установлении судом размеров подлежащего возмещению ущерба должны учитываться не только причиненные убытки (р), но и та конкретная обстановка, при которой убытки были причинены (q), а также материальное положение работника (?)». Символически это суждение можно выразить так: р? q ? г.

Соединительное суждение может быть как двух-, так и многосоставным; в символической записи: р? q ? r ?... ? n.

В языке соединительное суждение может быть выражено одной из трех логико-грамматических структур.

• 1) Соединительная связка представлена в сложном субъекте по схеме: S1 и S2 есть Р. Например: «Конфискация имущества и лишение звания являются дополнительными уголовно-правовыми санкциями».
• 2) Связка представлена в сложном предикате по схеме: S есть P1 и Р2. Например: «Преступление -- это общественно опасное и противоправное деяние».
• 3) Связка представлена сочетанием первых двух способов по схеме: S1 и S2 есть P1 и P2. Например: «С полицмейстером и прокурором Ноздрев тоже был на «ты» и обращался по-дружески» (Н.В. Гоголь).

Соединительное суждение истинно при истинности всех составляющих его конъюнктов и ложно при ложности хотя бы одного из них.

Условия истинности суждения р л q показаны в таблице (рис. 4a ), где истинность обозначена И, а ложность -- Л. В первых двух столбцах таблицы р и q берутся как независимые и принимают поэтому все возможные сочетания значений И и Л: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ. В третьем столбце показано значение суждение р л q. Из четырех построчных вариантов истинным оно является лишь в 1-й строке, когда истинны оба конъюнкта: и р, и q. Во всех остальных случаях оно ложно: во 2-й и 3-й строках в силу ложности одного из членов, а в 4-й в силу ложности обоих членов.

2. Разделительные (дизъюнктивные) суждения.

Разделительным , или дизъюнктивным , называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «или». Например, суждение «Договор купли-продажи может быть заключен в устной или письменной форме» является разделительным суждением, состоящим из двух простых: «Договор купли-продажи может быть заключен в устной форме»; «Договор купли-продажи может быть заключен в письменной форме». Если первое обозначить р, а второе -- q, то разделительное суждение символически можно выразить как р v q, где р и q -- члены дизъюнкции (дизъюнкты), v -- символ дизъюнкции.

Разделительное суждение может быть как двух-, так и многосоставным: р v q v ... v n. логический отношение суждение

В языке разделительное суждение может быть выражено одной из трех логико-грамматических структур.

• 1) Разделительная связка представлена в сложном субъекте по схеме: S1 или S2 есть Р. Например, «хищение в крупных размерах или совершенное группой лиц имеет повышенную общественную опасность».
• 2) Разделительная связка представлена в сложном предикате по схеме: S есть pi или Р2. Например: «Хищение наказывается исправительными работами или тюремным заключением».
• 3) Разделительная связка представлена сочетанием первых двух способов по схеме: S1 или S2 есть P1 или Р2. Например: «Ссылка или высылка могут применяться в качестве основной или дополнительной санкции».

Поскольку связка «или» употребляется в естественном языке в двух значениях -- соединительно-разделительном и исключающе-разделительном, то следует различать два типа разделительных суждений: нестрогую (слабую) дизъюнкцию и строгую (сильную) дизъюнкцию.

• 1) Нестрогая дизъюнкция -- суждение, в котором связка «или» употребляется в соединительно-разделительном значении (символ v). Например: «Холодное оружие может быть колющим или режущим», символически р v q . Связка «или» в данном случае разделяет, поскольку отдельно существуют такие виды оружия, и соединяет, ибо есть оружие, одновременно и колющее, и режущее. Условия истинности нестрогой дизъюнкции представлены в таблице (рис. 4б ). Суждение р v q будет истинно при истинности хотя бы одного члена дизъюнкции (1, 2, 3-я строки -- ИИ, ИЛ, ЛИ). Дизъюнкция будет ложной при ложности обоих ее членов (4-я строка-- ЛЛ).
• 2) Строгая дизъюнкция -- суждение, в котором связка «или» употребляется в разделительном значении (символ). Например: «Деяние может быть умышленным или неосторожным», символически р q.

Члены строгой дизъюнкции, называемые альтернативами, не могут быть одновременно истинными. Если деяние совершено умышленно, то его нельзя считать неосторожным, и, наоборот, -- деяние, совершенное по неосторожности, не может быть отнесено к умышленным. Условия истинности строгой дизъюнкции представлены в таблице (рис. 4в ).

Суждение р q будет истинным при истинности одного и ложного другого члена (2-я и 3-я строки ИЛ, ЛИ); оно будет ложным, если оба члена истинны (1-я строка -- ИИ) или оба ложны (4-я строка -- ЛЛ). Таким образом, суждение строгой дизъюнкции будет истинным при истинности одной альтернативы и ложным -- как при одновременной ложности, так и одновременной истинности альтернатив.

Разделительная связка в языке обычно выражается с помощью союзов «или», «либо». С целью усиления дизъюнкции до альтернативного значения нередко употребляют удвоенные союзы: вместо выражения «р или q» употребляют «или р, или q», а вместе «р либо q» -- «либо р, либо q». Поскольку в грамматике отсутствуют однозначные союзы для нестрогого и строгого разделения, то вопрос о типе дизъюнкции в юридических и других текстах должен решаться содержательным анализом соответствующих суждений.

Среди дизъюнктивных суждений следует различать полную и неполную дизъюнкцию.

• 1) Полным или закрытым называют дизъюнктивное суждение, в котором перечислены все признаки или все виды определенного рода. Символически это суждение можно записать следующим образом: Например: «Леса бывают лиственные, хвойные или смешанные». Полнота этого разделения (в символической записи обозначается знаком <...>
• 2) Неполным или открытым называют дизъюнктивное суждение, в котором перечислены не все признаки или не все виды определенного рода. В символической записи неполнота дизъюнкции может быть выражена многоточием: р v q v r v ... В естественном языке неполнота дизъюнкции выражается словами: «и т.д.», «и др.», «и тому подобное», «иные» и другими.
• 3. Условные (импликативные) суждения.

Условным , или импликативным , называют суждение, состоящее из двух простых, связанных логической связкой «если.., то...». Например: «Если предохранитель плавится, то электролампа гаснет». Первое суждение -- «Предохранитель плавится» называют антецедентом (предшествующим), второе -- «Электролампа гаснет» -- консеквентом (последующим). Если антецедент обозначить р, консеквент -- q, а связку «если..., то...» знаком «-->», то импликативное суждение символически можно выразить как p -->q.

Условия истинности импликативного суждения показаны в таблице (рис. 4г ).

Импликация истинна во всех случаях, кроме одного: при истинности антецедента и ложности консеквента (2-я строка) импликация всегда будет ложной. Сочетание истинного антецедента, например «Предохранитель плавится», и ложного консеквента -- «Электролампа не гаснет» -- является показателем ложности импликации.

Истинность импликации объясняется следующим образом. В 1-й строке истинность р имплицирует истинность q, или другими словами: истинность антецедента достаточна для признания истинности консеквента . И действительно, если предохранитель плавится, то электролампа обязательно гаснет в силу их последовательного включения в электрическую цепь.

В 3-й строке при ложном антецеденте -- «Предохранитель не плавится» консеквент является истинным -- «Электролампа гаснет». Ситуация вполне допустимая, ибо предохранитель может не плавиться, а электролампа может погаснуть в силу других причин -- отсутствия тока в цепи, перегорания нити в лампе, замыкания электропроводки и т.д. Таким образом, истинность q при ложности р не опровергает идею о наличии условной зависимости между ними, поскольку при истинности р всегда будет истинным и q .

В 4-й строке при ложном антецеденте -- «Предохранитель не плавится» ложным является и консеквент -- «Электролампа не гаснет». Такая ситуация возможна, но она не ставит под сомнение факт условной зависимости р и q, ибо при истинности р всегда будет истинным q .

В естественном языке для выражения условных суждений используется не только союз «если..., то...», но и другие союзы: «там..., где», «тогда..., когда...», «постольку..., поскольку...» и т.п. В форме условных суждений в языке могут быть представлены такие виды объективных связей, как причинные, функциональные, пространственные, временные, правовые, а также семантические, логические и другие зависимости. Примером причинного суждения может служить следующее высказывание: «Если воду нагреть при нормальном атмосферном давлении до 100°С, то она закипит». Пример семантической зависимости: «Если число делится на 2 без остатка, то оно четное».

В форме условных суждений нередко выражают логические зависимости между высказываниями. Например: «Если все преступное наказуемо, то не все наказуемое преступно». Или другой пример рассуждения: «Если верно, что некоторые птицы улетают зимой в теплые края, то неверно, что ни одна птица не улетает в теплые края».

В условном суждении антецедент выполняет функцию фактического или логического основания, обусловливающего принятие в консеквенте соответствующего следствия. Зависимость между антецедентом-основанием и консеквентом-следствием характеризуется свойством достаточности. Это означает, что истинность основания обусловливает истинность следствия, т.е. при истинности основания следствие всегда будет истинным (см. 1-я строка в таблице на рис. 4г ). При этом основание не характеризуется свойством необходимости для следствия, ибо при его ложности следствие может быть как истинным, так и ложным (см. 3-я и 4-я строки в таблице на рис. 4г ).

4. Эквивалентные суждения (двойная импликация).

Эквивалентным называют суждение, включающее в качестве составных два суждения, связанных двойной (прямой и обратной) условной зависимостью, выражаемой логической связкой «если и только если--, то...». Например: «Если и только если человек награжден орденами и медалями (р), то он имеет право на ношение соответствующих орденских планок (q)».

Логическая характеристика этого суждения состоит в том, что истинность утверждения о награждении (р) рассматривается как необходимое и достаточное условие истинности утверждения о наличии права на ношение орденских планок (q). Точно так же истинность утверждения о наличии права на ношение орденских планок (q) является необходимым и достаточным условием истинности утверждения о том, что данное лицо награждено соответствующими орденом или медалью (р). Такую обоюдную зависимость символически можно выразить двойной импликацией p-q, которая читается: «Если и только если р, то q». Эквивалентность выражают и другим знаком: р = q.

В естественном языке, для выражения эквивалентных суждений используют союзы: «лишь при условии что..., то...», «в том и только в том случае когда..., тогда...», «только тогда когда..., то...» и другие.

Условия истинности эквивалентного суждения представлены в таблице (рис. 4д ). Суждение р = q истинно в тех случаях, когда оба суждения принимают одинаковые значения, являясь одновременно либо истинными (1-я строка), либо ложными (4-я строка). Это значит, что истинность р достаточна для признания истинным q, и наоборот. Отношение между ними характеризуется и как необходимое: ложность р служит показателем ложности q, а ложность q указывает на ложность р.

Сводная таблица условий истинности сложных суждений (рис. 4е )