Замощение плоскости. Замощения

место или пространство за мостом.

Для своих учеников я предложила один способ решения задач о непериодичном замощении плоскости фигурами одной формы. Провела исследование двух ученых из Университета Дьюка (США) и мне понравилсв вариант непериодичной мозаики, полностью покрывающей плоскость, с использование плиток одной формы.

Впервые набор плиток состоял из 20426 фигур, которые представил Робетр Бергер в 1966 году. Через некоторое время их число он сократил до 104. В 70-х годах ХХ века Пенроуз представил решение своей мозаикой и использовал 2 различные фигуры. Нашла интересное решение у Дмитрия Сафина, который использовал для своей мозаики одну фигуру – правильный шестиугольник. При укладке таких плиток черные линии не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников, которые находятся на расстоянии, равном длине одной стороны плитки (на рисунке отмечены стрелками), должны смотреть в одну сторону. Здесь использовались две различные раскраски: вторая получается при отражении первой относительно вертикальной линии. Без второго варианта раскраски, впрочем, можно обойтись, если плитку сделать трехмерной. Замощение плоскости такими плитками (показано на одном из расположенных ниже рисунков) для удобства представления те флажки на шестиугольниках, которые смотрят влево, заменены здесь фиолетовыми линиями, а флажки другого типа - красными.

Также приведены примеры плиток, которые дают непериодичное замощение при учете одной лишь их формы: в этом случае пропадает необходимость устанавливать правила соединения, связанные с раскраской. В двумерном варианте такие плитки состоят из нескольких изолированных областей, но в трехмерной версии все их части связаны друг с другом.

Далее просмотрела ещё один интересный способ замощения у матеметиков из Австралии Джона Тэйлора и Джошуа Соколара. Они смогли решить задачу так называемой одной плитки. Один из самых простых примеров – гексагональное замощение, когда плоскость, подобно сотам, составляется из шестиугольников, которые соединяются по сторонам. В гексагональном случае это, к примеру, вектор, который соединяет центры соседних ячеек, которые имеют шесть углов. В процессе новой работы математики решали проблему строения непериодического замощения при помощи всего лишь одной плитки. Модель полученной ячейки шестиугольная, но благодаря особенной раскраске замощение получается непериодическим. Помимо задачи двумерной, математики предлагают 3-хмерный аналог своего собственного результата.

Помимо практических приложений теория замощения это источник вдохновения у художников. К примеру, Мауриц Эшер (художник из Нидерландов) при помощи необычных замощений создавал целые картины. В основе его картины «Восемь голов» лежит прямоугольное замощение. Этот художник выполнял рисунки по геометрическим фигурам, где можно проследить использование замощения фигур и не только одной фигурой, а множеством других. Ученики оценили всю прелесть замощения разными фигурами, принесли огромную подборку рисунков художника, пробовали выполнять работы по заданиям в виде рисунков.

Ниже представлены разные рисунки по заданной теме.

Из истории

Квазикристалл - твёрдое тело, характеризующееся симметрией, в классической , и наличием . Обладает наряду с дискретной картиной .

Квазикристаллы наблюдались впервые в экспериментах по на быстроохлаждённом Al 6 Mn, проведенных , за что ему в была присвоена . Первый открытый им квазикристаллический сплав получил название «шехтманит» ( Shechtmanite ). Статья Шехтмана не была принята к печати дважды и в сокращённом виде была в конце концов опубликована в соавторстве с привлечёнными им известными специалистами И. Блехом, Д. Гратиасом и Дж. Каном. Полученная картина дифракции содержала типичные для резкие () пики, но при этом в целом имела точечную икосаэдра, то есть, в частности, обладала осью симметрии пятого порядка, невозможной в трёхмерной периодической решётке. Эксперимент с дифракцией изначально допускал объяснение необычного явления дифракцией на множественных кристаллических двойниках, сросшихся в зёрна с икосаэдрической симметрией. Однако вскоре более тонкие эксперименты доказали, что симметрия квазикристаллов присутствует на всех масштабах, вплоть до , и необычные вещества действительно являются новой структурой организации материи.

Позднее выяснилось, что с квазикристаллами физики сталкивались задолго до их официального открытия, в частности, при изучении , полученных по от зёрен в сплавах в годах. Однако в то время икосаэдрические квазикристаллы были ошибочно идентифицированы как кубические кристаллы с большой . Предсказания о существовании структуры в квазикристаллах были сделаны в и Маки.

В настоящее время известны сотни видов квазикристаллов, имеющих точечную симметрию икосаэдра, а также десяти-, восьми- и двенадцатиугольника.

Атомная модель Al-Pd-Mn квазикристалла

СТРУКТУРА

Детерминистические и энтропийно-стабилизированные квазикристаллы

Существует две гипотезы о том, почему квазикристаллы являются (мета-)стабильными фазами. Согласно одной гипотезе, стабильность вызвана тем, что внутренняя энергия квазикристаллов минимальна по сравнению с другими фазами, как следствие, квазикристаллы должны быть стабильны и при температуре абсолютного нуля. При этом подходе имеет смысл говорить об определённых положениях атомов в идеальной квазикристаллической структуре, то есть мы имеем дело с детерминистическим квазикристаллом. Другая гипотеза предполагает определяющим вклад в стабильность. Энтропийно стабилизированные квазикристаллы при низких температурах принципиально нестабильны. Сейчас нет оснований считать, что реальные квазикристаллы стабилизируются исключительно за счёт энтропии.

Многомерное описание

Детерминистическое описание структуры квазикристаллов требует указать положение каждого атома, при этом соответствующая модель структуры должна воспроизводить экспериментально наблюдаемую картину дифракции. Общепринятый способ описания таких структур использует тот факт, что точечная симметрия, запрещённая для кристаллической решетки в трёхмерном пространстве, может быть разрешена в пространстве большей размерности D. Согласно таким моделям структуры, атомы в квазикристалле находятся в местах пересечения некоторого (симметричного) трёхмерного подпространства R D (называемого физическим подпространством) с периодически расположенными многообразиями с краем размерности D-3, трансверсальными физическому подпространству.

«Правила сборки»

Многомерное описание не даёт ответа на вопрос о том, как локальные могут стабилизировать квазикристалл. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (). Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о федоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства).

МЕТАЛЛУРГИЯ

Получение квазикристаллов затрудняется тем, что все они либо метастабильны, либо образуются из расплава, состав которого отличается от состава твёрдой фазы ().

НАТУРАЛЬНЫЕ

Породы с природными Fe-Cu-Al-квазикристаллами найдены на в 1979 году. Однако только в 2009 году учёные из установили этот факт. В 2011 году они выпустили статью, в которой рассказали, что данный квазикристалл имеет внеземное происхождение. Летом того же 2011 года в ходе экспедиции в Россию минералоги нашли новые образцы природных квазикристаллов.

СВОЙСТВА

Первоначально экспериментаторам удалось попасть в очень узкую «температурную щель» и получить квазикристаллические материалы с необычными новыми свойствами. Однако позже обнаружены квазикристаллы в Al-Cu-Li и других системах, которые могут быть устойчивыми вплоть до и расти практически при , как и обычные кристаллы.

В квазикристаллах, в отличие от , при низких температурах аномально велико, а с ростом температуры уменьшается. В слоистых квазикристаллах, вдоль оси электросопротивление ведет себя как в нормальном металле, а в квазикристаллических слоях - описанным выше образом.

Магнитные свойства. Большинство квазикристаллических - , однако сплавы с - .

Квазикристаллов ближе к упругим свойствам аморфных веществ, чем кристаллических. Они характеризуются пониженными по сравнению с кристаллами значениями . Однако квазикристаллы менее , чем сходные по составу кристаллы и, вероятно, они смогут играть роль в металлических сплавах.

КВАЗИКРИСТАЛЛ

особый тип упаковки атомов в твердом в-ве,характеризующийся икосаэдрической (т. е. с осями 5-го порядка) симметрией, дальним ориентационнымпорядком и отсутствием трансляционной симметрии, присущей обычному кристаллическому состоянию. Квазикристалл им. упаковка атомов была открыта в быстро охлажденном металлическом сплаве Аl 6 Мn(1984) и затем обнаружена в системах Al-Fe, Ni-Ti и др. Обычные обладают трехмернойпериодичностью в расположении атомов, исключающей возможность существования осей симметрии 5гопорядка. В аморфном (стеклообразном) состоянии возможны локальные группировки атомов с икосаэдрич.симметрией, но во всем объеме аморфного тела нет дальнего порядка в расположении атомов нитрансляционного, ни ориентационного. К. может рассматриваться как промeжут. тип упорядоченностиатомов между истинно кристаллическим и стеклообразным. Двухмерной моделью К. являются упаковки("паркеты") ромбов с углом при вершине 360°/5 = 72° с осями симметрии 5го порядка: при этом промежуткизаполняются другими ромбами с углом при вершине 360°/10=36° (узор Пенроза, рис. 1); совокупности этихромбов дают равновеликие десятиугольники. Угловая ориентация всех элементов паркета повторяется навсей плоскости это и есть дальний ориснтационный порядок, но истинного трансляционного дальнегопорядка нет (хотя есть приблизительная периодичность вдоль нек-рых направлений).

Рис . 1 . Двухмерная модель квазикристалла ( выделены десятиугольники ).

Рис . 2 . Элементы структуры квазикристалла из пяти тетраэдров: фрагмент икосаэдра (а ), 32 - вершинниктриаконтаэдр (6 ).

Упаковка атомов в трехмерном пространстве К . может быть описана на основе многогранников , содержащихоси 5го порядка , или фрагментов таких многогранников . На рис . 2 , а показан характерный для К . фрагментикосаэдра

(12 - вершинника - двадцатигранника с точечной симметрией 53m ), состоящий из 5 тетраэдров . Чтобы 6 вершинных атомов и центральный образовали плотную упаковку, радиус центрального атомадолжен быть несколькоменьше , чем у вторичного атома ; напр ., в Аl 6 Мn атомный радиус Мn - 0 , 130 нм , Аl - 0 , 143 нм . Фрагментами атомной структуры К . могут быть также трехмерные аналоги узоров Пенроза - острый и тупой ромбоэдры с углами при вершинах 63 , 43 ° и 116 , 57 °, из к - рых можно сложить полиэдр - триаконтаэдр с симметрией 53m , имеющий 32 вершины (рис . 2 , 6 ). В упаковке атомов в К . могутнаблюдаться нарушения , аналогичные дислокациям (см . Дефекты ). К . типа Аl 6 Мn можно рассматриватькак метастабильные фазы . Однако существует структура К . типа сплава Al - Li - Cu - Mn , получаемая примедленном охлаждении расплава , к - рая является , по - видимому , равновесной . В настоящее времяразвиваются физ . теории квазикристаллич . состояния .

Несложно замостить плоскость паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников (под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне). Примеры таких замощений приведены на рис. 1.

Рис. 1. Замощение плоскости: i - равносторонними треугольниками, ii - квадратами, iii - правильными шестиугольниками

Никакими другими правильными n -угольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого n -угольника равна (n – 2) · 180°. Поскольку все углы правильного n -угольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть . Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k ). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому . После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: . Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 илиk = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.

А какими другими многоугольниками можно замостить плоскость без пробелов и наложений?

Задача

а) Докажите, что любым треугольником можно замостить плоскость.

б) Докажите, что любым четырёхугольником (как выпуклым, так и невыпуклым) можно замостить плоскость.

в) Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость.

г) Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость.

д) Приведите пример n -угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.

Подсказки

1) В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.

Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.

Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.

2) В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.

Решение

Примеры ответов изображены на рисунках.

а):

Рис. 2

б):

Рис. 3

в) Подойдет пятиугольник в форме домика:

Рис. 4

г) Такими шестиугольниками плоскость замостить не получится: в «вырезанный» угол просто не влезет полностью никакая часть такого шестиугольника. По клеточкам это хорошо видно:

Рис. 5

Можно придумать еще множество других шестиугольников, которыми нельзя замостить плоскость.

д) Вот пример двенадцатиугольника, которым можно замостить плоскость. Этот способ замощения получен как модификация обычной квадратной решетки (см. рис. 1, ii из условия):

Рис. 6

Задача замощения плоскости одинаковыми фигурками без пробелов и наложений известна с древних времен. Один из ее частных случаев - вопрос о том, какими могут быть паркеты (то есть замощения плоскости правильными многоугольниками , причем не обязательно одинаковыми) и, в частности, правильные паркеты. Правильный паркет обладает таким свойством: при помощи параллельных переносов (сдвигов без вращений), которые переводят паркет в себя, можно совместить заранее выбранный узел с любым другим узлом паркета. На рис. 1 из условия изображены как раз правильные паркеты.

Рис. 9. «Дорога гигантов» (Северная Ирландия). Фото с сайта ru.wikipedia.org

Обобщение нашей задачи - замощение пространства - современный важный раздел кристаллографии, играющий важную роль в интегральной оптике и физике лазеров.

Как ни странно, до относительно недавних времен были известны только периодические замощения (которые полностью совмещаются с собой при некотором сдвиге и его повторениях). Однако в 1974 году английский ученый Роджер Пенроуз

Рис. 11. М. К. Эшер, «Рептилии», 1946 (слева ) и «Бабочки», 1950

Паркеты и мозаики встречаются и в изобразительном искусстве. Пожалуй, наиболее известны работы голландца М. К. Эшера (M. C. Escher).

Помыслить немыслимое и утвердиться в том, что оно все-таки мыслимо – это явление геометрии.

А.Д.Александров

Класс: 8-9

Цели:

• Формирование и развитие представлений учащихся о новых математических объектах и математических понятиях.
• Развитие творческого интереса к математике.
• Расширение математического кругозора учащихся.
• Воспитание доброжелательности и взаимопомощи при совместной работе.

Задачи внеклассного занятия:

• Практическое применение математических знаний при изучении новых математических объектов.
• Развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности.
• Знакомство с применением новых полученных знаний в современной науке.
• Постановка вопросов для дальнейшего изучения темы.

Подготовка: работа в группах, каждая группа готовит модели правильных многоугольников, а также копии произвольных треугольников и четырехугольников.

Формы организации работы учащихся: фронтальная, групповая.

Формы организации работы учителя: руководящая, организационная, координирующая.

Технические условия: мультимедийный кабинет.

Используемое оборудование: компьютер, проектор, экран, CD-носитель.

Презентация «Паркеты – замощение плоскости многоугольниками».

Ход занятия.

Паркеты с древних времён привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.
Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, интерес к этой теме возник после решения простой школьной задачи: «Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости». А какими еще многоугольниками можно замостить плоскость?

Правильные паркеты

Паркетом называется такое замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным , если он составлен из равных правильных многоугольников.
Примеры правильных паркетов были известны ещё пифагорейцам. Они дают заполнение плоскости: квадратами, равносторонними треугольниками, правильными шестиугольниками.

Задание для учащихся: из имеющихся моделей правильных многоугольников составьте правильные паркеты.

Убедимся в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника. Если паркет составлен из n -угольников, то в каждой вершине паркета будет сходитьсяk = 360°/ a n многоугольников, где a n – угол правильного n -угольника. Легко найти, что a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°,a 6 = 120° и 120° < a n < 180° при п > 7. Поэтому 360° делится нацело на a n только при п = 3; 4; 6.
Интересно, что среди правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, данного периметра, наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчёлы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска.

Полуправильные паркеты.

Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники располагались в одном и том же порядке. Такие паркеты называются полуправильными .

Задание для учащихся : из имеющихся моделей правильных многоугольников составьте полуправильные паркеты.

Для выяснения количества полуправильных паркетов нужно проанализировать возможные случаи расположения правильных многоугольников вокруг общей вершины. Для этого обозначим через a 1 ,a 2 … – углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания a 1 < a 2 < … Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360°, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов и укажем соответствующие паркеты.
Таким образом, всего имеется 11 правильных и полуправильных паркетов.

Планигоны

Рассмотрим и другое обобщение - паркеты из копий произвольного многоугольника, правильные «по граням» (т. е. которые переводят любую за­данную плитку в любую другую). Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами .
Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник - планигон. То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны.

Задание для учащихся : из имеющихся копий произвольных треугольников и четырехугольников составьте паркеты.

Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет.
Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры.

Вопрос на перспективу: Существуют ли непериодические замощения?

Вместо заключения

Особый интерес представляет создание собственных паркетов – заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета) с помощью, например, осевой симметрии и параллельного переноса. Главное, что в основе построения лежит многоугольник, равновеликий элементу паркета.

Домашнее задание. Составить понравившийся паркет с помощью любых средств: от цветной бумаги до компьютерных технологий.

Список используемой литературы:

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 7-9.– М.: Просвещение, 2010.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1996.
3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1997.
4. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников.//Квант, 1970, № 3.
5. Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии //Математика: Еженедельное учебно-методическое прил. к газ. «Первое сент.». – 2003, № 21.
6. Совертков П.И. и др. Геометрический паркет на экране компьютера.//Информатика и образование, 2000, № 9.
7. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика/ Глав.ред. М.Д.Аксенова. – М.: Аванта+, 2008.

Речь пойдет о замощении плоскости. Замощение - это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов. Одно из простейших замощений приведено на рисунке 1.

Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из розового параллелограмма сдвигая последний на вектор (векторы и определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m - целые числа). Следует заметить, что всё замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор (или). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами и назовём такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор и на вектор. Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы.

Квазипериодические замощения плоскости

Существуют интересные и непериодические замощения плоскости. В 1974г. Английский математик Роджер Пенроуз открыл квазипериодические замощения плоскости. Свойства этих замощений естественным образом обобщают свойства периодических. Пример такого замощения приведён на рисунке 2.

Вся плоскость покрыта ромбами. Между ромбами нет промежутков. Любой ромб замощения с помощью сдвигов и поворотов можно получить всего из двух. Это узкий ромб (36 0 , 144 0) и широкий ромб (72 0 , 108 0), показанные на рисунки 3. Длина сторон каждого из ромбов равна 1. Это замощение не является периодическим - оно очевидно не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако оно обладает неким важным свойством, которое приближает его к периодическим замощениям и заставляет называть его квазипериодическим. Дело в том, что любая конечная часть квазипериодического замощения встречается во всем замощении бесчисленно множество раз. Это замощение обладает осью симметрии 5 порядка, в то время как таких осей у периодических замощений не существует.

Другое квазипериодическое замощение плоскости, построенное Пенроузом, приведено на рисунке 4. Вся плоскость покрыта четырьмя многоугольниками специального вида. Это звезда, ромб, правильный пятиугольник.

А) Преобразование инфляции и дефляции

Каждый из показанных выше трех примеров квазипериодического замощения - это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур. Это покрытие не переходит в себя ни при каких сдвигах, любая конечная часть покрытия встречается во всём покрытии бесчисленное множество раз, притом, одинаково часто, по всей плоскости. Замощения, описанные выше, обладают некоторым специальным свойством, которое Пенроуз назвал инфляцией. Изучение этого свойства позволяет разобраться в структуре этих покрытий. Более того, инфляцию можно использовать для построения узоров Пенроуза. Наиболее наглядным образом можно проиллюстрировать инфляцию на примере треугольников Робинсона. Треугольники Робинсона - это два равнобедренных треугольника P, Q с углами (36 0 , 72 0 , 72 0) и (108 0 , 36 0 , 36 0) соответственно и длинами сторон, как на рисунке 6. Здесь ф - золотое сечение:

Эти треугольники можно разрезать на меньшие, так, чтобы каждый их новых (меньших) треугольников был подобен одному из исходных. Разрезание показано на рисунке 7: прямая ас является биссектрисой угла dab, а отрезки ae, ab и ac равны. Легко видеть, что треугольник acb и ace равны между собой и подобны треугольнику Р, а треугольник cde подобен треугольнику Q. Треугольник Q разрезан так. Длина отрезка gh равна длине отрезка ih (и равна 1). Треугольник igh подобен треугольнику Р, а треугольник igf подобен треугольнику Q. Линейные размеры новых треугольников в t раз меньше чем у исходных. Такое разрезание называется дефляцией.

Обратное преобразование - склеивание - называется инфляцией.

Рисунок показывает нам, что из двух Р - треугольников и одного Q - треугольника можно склеить Р - треугольник, а из Р и Q треугольника можно склеить Q треугольник. У новых (склеенных) треугольников линейные размеры в t раз больше, чем у исходных треугольников.

Итак, мы ввели понятие преобразований инфляции и дефляции. Ясно, что преобразование инфляции можно повторить; при этом получится пара треугольников, размеры которых в t 2 раз больше исходных. Последовательно применяя преобразования инфляции, можно получить пару треугольников сколь угодно большого размера. Таким образом, можно замостить всю плоскость.

Можно показать, что описанное выше замощение треугольниками Робинсона не является периодическим

Доказательство

Наметим доказательство этого утверждения. Будем рассуждать от противного. Предположим, что замощение плоскости треугольниками Робинсона периодическое с периодами u и w . Покроем плоскость сетью параллелограммов со сторонами u, w Обозначим через р число Р - треугольников, у которых левая нижняя вершина (относительно нашей сети) расположена в заштрихованном параллелограмме; аналогично определим число q. (Отобранные р+q треугольников образуют так называемую фундаментальную область данного периодического замощения.) Рассмотрим круг с радиусом R с центром О. Обозначим через PR (собственно QR) число Р-треугольников (соответственно - Q - треугольников), лежащих внутри этого круга.

Докажем, что

1) Действительно, число треугольников, пересекающих окружность радиуса R, пропорционально R, в то время как число треугольников внутри круга радиуса R пропорционально R 2 . Поэтому в пределе отношение числа Р - треугольников к числу Q - треугольников в круге равно этому отношению в фундаментальной области.

Возьмем теперь наше замощение и выполним преобразования дефляции. Тогда в исходной фундаментальной области окажется pґ = 2p + q меньших Р - треугольников и qґ = p +q меньших Q - треугольников. Обозначим через pґR и qґR число меньших треугольников в круге радиуса R. Теперь легко получить противоречие. В самом деле,

= = = = (правило Лопиталя)

Откуда, решая уравнение

p/q=(2p+q)/(p+q),

в то время как p и q - целые! Противоречие показывает, что замощение треугольниками Робинсона - не периодическое.

Оказывается, что это покрытие треугольниками Робинсона не единственное. Существует бесконечно много различных квазипериодических покрытий плоскости треугольниками Робинсона. Грубо говоря, причина этого явления лежит в том, что при дефляции биссектрису на рисунке 7 можно провести из вершины b , а не из вершины а. Использую этот произвол, можно добиться, например, что бы покрытие треугольниками превратилось в покрытие треугольниками ромбами

Б) Преобразование дуальности

Способ построения квазипериодических замощений, приведенный выше, выглядит как догадка. Однако существует регулярный способ построения квазипериодических покрытий. Это метод преобразования дуальности, идея которого принадлежит голландскому математику де Брауну.

Поясним этот метод на примере построения замещения плоскости ромбами (см. рис 3). Сначала построим сетку G. Для этого возьмём правильный пятиугольник и пронумеруем его стороны (j = 1,2,3,4,5; рис 10). Рассмотрим сторону с номером j. Построим бесконечный набор прямых, параллельных этой стороне, так что бы расстояние между двумя ближайшими прямыми равнялось 1.

Проведём аналогичное построение для каждой из сторон пятиугольника; прямые мы проведём так, чтобы они пересекались лишь попарно. Получится набор прямых, который не является периодическим (Рис 9).Прямые в этом наборе будем обозначать буквами l. Перенумеруем прямые двумя индексами: l j (n). Здесь j указывает на направление прямой (какой стороне пятиугольника она параллельна). Целое число n нумерует различные параллельные прямые, пробегает все целые значения (как положительные, так и отрицательные). Этот набор прямых делит плоскость на бесконечный набор многоугольников. Эти многоугольники называются гранями сетки. Стороны многоугольников будем называть ребрами сетки, а вершины многоугольников - вершинами сетки. (Аналогично для квазипериодического покрытия Q: ромбы - это грани Q, стороны ромбов - рёбра Q, вершины ромбов - вершины Q)

Таким образом, сетка G построена. Совершим теперь преобразование дуальности. Каждый грани сетки G сопоставим вершину квазипериодического покрытия Q (вершину ромба). Вершины обозначим буквами (это векторы). Сначала сопоставим каждой грани M сетки пять целых чисел n j = (M), j - 1,2, ….5 по следующему правилу. Внутренние точки M лежат между какой-то прямой l j (n) и параллельной ей прямой l j (n+1).

Это целое число n мы сопоставим грани M. Поскольку в сетке есть прямые пяти направлений, то таким образом мы сопоставим пять целых чисел n j (M) каждой М сетки G. Вершина квазипериодического покрытия Q, соответствующая данной грани М сетки G, строится так:

(M) = n 1 (M) + + … +

Здесь - вектор единичной длины, направленный из центра правильного пятиугольника к середине стороны с номером j. Таким образом, каждой грани сетки мы сопоставили вершину покрытия. Так можно построить все вершины Q.

Теперь некоторые вершины соединим между собой отрезками прямых линий. Это будут ребра покрытия Q (стороны ромбов). Для этого рассмотрим пару граней М1 и М2 , имеющих общее ребро. Вершины покрытия, соответствующие этим граням и, мы и соединим между собой отрезками.

Тогда оказывается, что разность

Может быть, равна лишь одному из десяти векторов.

Таким образом, каждому ребру сетки сопоставляется грань покрытия Q. Каждой вершине сетки сопоставляется грань покрытия Q (ромб) Действительно, к каждой вершине сетки примыкают четыре грани M R (R = 1,2,3,4). Рассмотрим соответствующие им четыре вершины покрытия (M R). Из свойства разности (2) следует, что ребра покрытия, проходящие через эти вершины, образуют границу ромба. Квазипериодического покрытие плоскости ромбами построено.

Мы проиллюстрировали метод преобразования дуальности. Это общий способ построения способ квазипериодических покрытий. В этой конструкции правильный пятиугольник можно заменить на любой правильный многоугольник. Получится новое квазипериодическое покрытие. Метод преобразования дуальности применим и для построения квазипериодических структур в пространстве.

В) Квазипериодическое заполнение трехмерного пространства

Существует трехмерное обобщение узоров Пенроуза. Трехмерного пространство может быть заполнено параллелепипедами специального вида. Параллелепипеды не имеют общих внутренних точек и между ними нет промежутков. Каждый параллелепипед этого заполнения с помощью сдвигов и поворотов может быть получено всего из двух параллелепипедов. Это так называемые параллелепипеды Аммана-Маккэя. Для того, чтобы задать параллелепипед, достаточно задать три ребра, выходящих из одной вершины. Для первого параллелепипеда Аммана-Маккэя эти векторы имеют вид:

= (0; 1; ф), = (-ф; 0; -1)

А для второго параллелепипеда:

= (0; -1;ф), = (ф; 0;1), = (0;1; ф)

Заполнение этими параллелепипедами не переходит в себя ни при каких сдвигах, однако любая конечная ему часть встречается во всем заполнение бесчисленное множества раз. Заполнение пространства этими параллелепипедами связано с симметриями икосаэдра. Икосаэдр - платоновское тело. Каждая из его граней является правильным треугольником. Икосаэдр имеет 12 вершин, 20 граней и 30 ребер

Применение

Оказалось, что именно такими симметриями обладает быстро охлажденный алюминиево-марганцевый расплав (открытый в 1984г.) Таким образом, узоры Пенроуза помогли понять структуру вновь открытого вещества. И не только этого вещества, найдены и другие реальные квазикристаллы, их экспериментальное и теоретическое изучение находится на переднем крае современной науки.

Пример замощения на гиперболической плоскости

Французский математик Михаэль Рао из Лионского университета закончил решение задачи о замощении плоскости выпуклыми многоугольниками. Препринт работы можно на странице ученого.

Многоугольник называется выпуклым, если все его углы меньше 180 градусов или, что то же самое, вместе с любой парой точек такой многоугольник содержит и отрезок, их соединяющий. Задача о замощении (еще ее называют задачей о паркете) формулируется так: пусть плоскость разбита на многоугольники так, что любые два многоугольника либо не имеют общих точек, либо имеют только граничные общие точки. Если все многоугольники такого разбиения одинаковы (то есть один в другой можно перевести композицией сдвига, поворота или осевой симметрии), то говорят, что многоугольник замощает плоскость. Задача звучит так: описать все выпуклые многоугольники, замощающие плоскость.

Используя некоторые комбинаторные рассуждения, можно доказать, что у такого многоугольника может быть только 3, 4, 5 или 6 сторон. Легко проверяется, что плоскость можно замостить любым трех- и четырехугольником. Об этом подробнее можно прочитать в нашем материале .

Чтобы описать все шестиугольники, обозначим их углы как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы было доказано, что все шестиугольники, которыми можно замостить плоскость, принадлежат как минимум одному из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :

1. A + B + C = 360
2. A + B + D = 360, a = d, c = e
3. A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Все 15 известных пятиугольных замощений

Самый сложный случай - случай пятиугольного паркета. В 1918 году математик Карл Райнхардт описал пять классов таких паркетов, простейшим из которых был класс пятиугольников с условием, что найдется сторона, сумма примыкающих к которой углов равна 180 градусам. В 1968 году Роберт Кершнер нашел еще три таких класса, а в 1975 году Ричард Джеймс нашел еще один. Про открытие Джеймса написал журнал Scientific American, статью в нем увидела американская домохозяйка и математик-любитель Мардж Райс, которая вручную за 10 лет нашла еще 5 семейств.

Последнее продвижение в задаче о замощении произошло в августе 2015 года. Тогда математики из филиала Вашингтонского университета в Ботелле с помощью компьютерной программы 15-й класс пятиугольных паркетов. В своей новой работе Михаэль Рао свел задачу классификации пятиугольных паркетов к перебору 371 вариантов. Варианты он перебрал на компьютере и показал, что ничего, кроме 15-ти уже известных классов замощений, не существует. Тем самым он окончательно закрыл задачу о замощении.

Андрей Коняев

В мире математики сенсация. Открыт новый вид пятиугольников , которые покрывают плоскость без разрывов и без перекрытий.

Это всего 15-й вид таких пятиугольников и первый, открытый за последние 30 лет.

Плоскость покрывается треугольниками и четырехугольниками любой формы, а вот с пятиугольниками все гораздо сложнее и интереснее. Правильные пятиугольники не могут покрыть плоскость, но некоторые неправильные пятиугольники могут. Поиск таких фигур уже сто лет является одной из самых интересных математических задач. Квест начался в 1918 году, когда математик Карл Рейнхард открыл пять первых подходящих фигур.

Долгое время считалось, что Рейнхард рассчитал все возможные формулы и больше таких пятиугольников не существует, но в 1968 году математик Р.Б.Кершнер (R. B. Kershner) нашел еще три, а Ричард Джеймс (Richard James) в 1975 году довел их число до девяти. В том же году 50-летняя американская домохозяйка и любительница математики Марджори Райс (Marjorie Rice) разработала собственный метод нотации и в течение нескольких лет открыла еще четыре пятиугольника. Наконец, в 1985 году Рольф Штайн довел число фигур до четырнадцати.

Пятиугольники остаются единственной фигурой, в отношении которой сохраняется неопределенность и загадка. В 1963 году было доказано, что существует всего три вида шестиугольников, покрывающих плоскость. Среди выпуклых семи-, восьми- и так далее -угольников таких нет. А вот с «пентагонами» пока не все ясно до конца.

До сегодняшнего дня было известно всего 14 видов таких пятиугольников. Они изображены на иллюстрации. Формулы для каждого из них приведены по ссылке .

В течение 30 лет никто не мог найти ничего нового, и вот наконец-то долгожданное открытие! Его сделала группа ученых из Вашингтонского университета: Кейси Манн (Casey Mann), Дженнифер Маклауд (Jennifer McLoud) и Дэвид вон Деро (David Von Derau). Вот как выглядит маленький красавчик.

«Мы открыли фигуру с помощью компьютерного перебора большого, но ограниченного количества вариантов, - говорит Кейси Манн. - Конечно, мы очень взволнованы и немного удивлены, что удалось открыть новый вид пятиугольника».

Открытие кажется чисто абстрактным, но на самом деле оно может найти практическое применение. Например, в производстве отделочной плитки.

Поиск новых пятиугольников, покрывающих плоскость, наверняка продолжится.